В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 500 000 рублей как вы договаривались раньше, однако вернуть эту сумму поставщик не может -…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 500 000 рублей как вы договаривались раньше, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются/гасятся”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 500 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. Ответ округлите ДО ДВУХ знаков после запятой.
Для решения этой задачи нам необходимо рассчитать приведённую стоимость облигаций, которые мы готовы принять вместо 500 000 рублей, учитывая процентную ставку 10%.
Шаг 1: Понимание условий
У нас есть 100 облигаций, которые приносят следующие выплаты:
- Каждый год в конце года в течение 5 лет по 1000 рублей.
- В конце 5-го года мы получаем еще и номинал облигации Х рублей.
Таким образом, выплата в конце 5-го года составит 1000 + Х рублей.
Шаг 2: Приведенная стоимость (PV)
Приведенная стоимость (PV) каждой из будущих выплат будет рассчитываться по формуле:
\[ PV = \frac{C}{(1+r)^n} \]
где:
- \(C\) — это сумма платежа,
- \(r\) — ставка (в нашем случае 0.10),
- \(n\) — количество лет до платежа.
Шаг 3: Рассчитаем приведенную стоимость всех выплат
Первый платеж (1000 рублей в конце первого года): \[ PV_1 = \frac{1000}{(1+0.1)^1} = \frac{1000}{1.1} \approx 909.09 \]
Второй платеж (1000 рублей в конце второго года): \[ PV_2 = \frac{1000}{(1+0.1)^2} = \frac{1000}{1.21} \approx 826.45 \]
Третий платеж (1000 рублей в конце третьего года): \[ PV_3 = \frac{1000}{(1+0.1)^3} = \frac{1000}{1.331} \approx 751.31 \]
Четвертый платеж (1000 рублей в конце четвертого года): \[ PV_4 = \frac{1000}{(1+0.1)^4} = \frac{1000}{1.4641} \approx 683.01 \]
Пятый платеж (1000 + Х рублей в конце пятого года): \[ PV_5 = \frac{1000 + X}{(1+0.1)^5} = \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Теперь обобщим:
Шаг 4: Суммарная приведенная стоимость облигаций
Общая приведенная стоимость будущих выплат вычисляется как:
\[ PV_{total} = PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 + PV_5 \] \[ PV_{total} = 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 + \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Подставим все известные значения:
\[ PV_{total} = 3169.86 + \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Шаг 5: Приравнивание к 500000
Для того чтобы согласиться принять облигации вместо 500 000 рублей, необходимо, чтобы приведенная стоимость всех выплат была равна 500 000:
\[ 3169.86 + \frac{1000 + X}{1.61051} = 500000 \]
Теперь решим это уравнение для Х.
Шаг 6: Выразим X
Переносим 3169.86 на правую сторону: \[ \frac{1000 + X}{1.61051} = 500000 - 3169.86 \] \[ \frac{1000 + X}{1.61051} = 496830.14 \]
Умножаем обе стороны на 1.61051: \[ 1000 + X = 496830.14 \times 1.61051 \] \[ 1000 + X \approx 799959.75 \]
Найдем значение X: \[ X \approx 799959.75 - 1000 \approx 798959.75 \]
Ответ
Округляя до двух знаков после запятой, получаем:
\[ \boxed{798959.75} \]
Таким образом, чтобы согласиться принять облигации, номинал каждой должен составлять примерно 798959.75 рублей.
