Реши
Для решения подобных уравнений используются замены переменных, чтобы упростить задачу. Рассмотрим каждое уравнение по очереди.
a) \( 4x^4 - 65x^2 + 16 = 0 \)
Сделаем замену: \( y = x^2 \). Тогда уравнение становится квадратичным: \[ 4y^2 - 65y + 16 = 0. \]
Решим квадратное уравнение используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-65)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 4225 - 256 = 3969. \]
Найдем корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{65 \pm 63}{8}. \]
Получаем: \[ y_1 = \frac{128}{8} = 16, \] \[ y_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \]
Возвращаемся к \( x \):
- \( x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4. \)
- \( x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}. \)
Итак, решения: \( x = 4, -4, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}. \)
б) \( x^6 + 65x^3 + 8 = 0 \)
Сделаем замену: \( y = x^3 \). Получаем: \[ y^2 + 65y + 8 = 0. \]
Решим квадратное уравнение: \[ D = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4225 - 32 = 4193. \]
Дискриминант положителен. Найдем корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-65 \pm \sqrt{4193}}{2}. \]
Корни данного уравнения сложно выразить в виде рациональных чисел, поэтому обычно они выражаются в виде иррациональных. Например, \( y_1 \approx -0.123 \) и \( y_2 \approx -64.877 \).
Возвращаемся к \( x \). Так как \( y = x^3 \), \( x \approx (-0.123)^{1/3} \) и \( x \approx (-64.877)^{1/3} \).
в) \( x - 2\sqrt{x} - 8 = 0 \)
Сделаем замену: \( y = \sqrt{x} \). Получаем: \[ y^2 - 2y - 8 = 0. \]
Решим квадратное уравнение: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \]
Корни: \[ y_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2}. \]
Получаем: \[ y_1 = 4, \] \[ y_2 = -2. \]
Так как \( y = \sqrt{x} \), то \( y \) не может быть отрицательным. Значит, \( y = 4 \).
Возвращаемся к \( x \): \[ \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16. \]
г) \( 3x^2 - 26|x| - 9 = 0 \)
Рассмотрим два случая: \( x \geq 0 \) и \( x < 0\).
Случай 1: \( x \geq 0 \)
\[ 3x^2 - 26x - 9 = 0. \]
Решим квадратное уравнение: \[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 676 + 108 = 784. \]
Корни: \[ x_{1,2} = \frac{26 \pm 28}{6}. \]
Получаем: \[ x_1 = \frac{54}{6} = 9, \] \[ x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \text{ (не подходит, так как } x \geq 0)\]
Случай 2: \( x < 0 \)
Подставляем \( x = -t \), где \( t > 0 \): \[ 3t^2 - 26t - 9 = 0. \]
Корни те же: \[ t_1 = 9, \] \[ t_2 = -\frac{1}{3}. \]
Положительный корень: \( t_1 = 9 \) даёт \( x = -9 \).
Итак, решения: \( x = 9, -9. \)
Таким образом, мы разобрали все уравнения, сделав необходимые алгебраические замены.
