Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нужно использовать формулу для объема пирамиды:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h
]
где ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды. Для шестиугольной пирамиды основание является правильным шестиугольником, и нам нужно сначала найти его площадь.
Шаг 1: Площадь основания
Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:
[
S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2
]
где ( a ) — длина стороны шестиугольника. В данной задаче сторона основания равна ( \sqrt{24} ).
Подставляем значение в формулу:
[
S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\sqrt{24})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 24 = 36\sqrt{3}
]
Шаг 2: Нахождение высоты
Чтобы найти высоту ( h ) пирамиды, воспользуемся свойствами правильной шестиугольной пирамиды. В правильной пирамиде высота, боковое ребро и радиус описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник.
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (далее ( R )) равен длине стороны ( a ):
[
R = a = \sqrt{24}
]
Боковое ребро равно 18. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты пирамиды:
[
h^2 + R^2 = (боковое ; ребро)^2
]
Подставим известные значения:
[
h^2 + (\sqrt{24})^2 = 18^2
]
[
h^2 + 24 = 324
]
[
h^2 = 324 - 24 = 300
]
[
h = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}
]
Шаг 3: Объем пирамиды
Теперь, когда у нас есть и площадь основания, и высота, можно найти объем:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h
]
[
V = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{3}
]
Упростим это выражение:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 1080 = 360
]
Ответ
Объем правильной шестиугольной пирамиды равен ( 360 ) кубических единиц.
