(x^2-7x+10)(x^4+2x^3-8x^2)<0

Чтобы решить неравенство \((x^2 - 7x + 10)(x^4 + 2x^3 - 8x^2) < 0\), давайте разберем каждую из составляющих и найдем промежутки, на которых произведение этих двух выражений меньше нуля.

Шаг 1: Найдем корни первого множителя \(x^2 - 7x + 10\)

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]

Корни находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, \(x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)\).

Шаг 2: Найдем корни второго множителя \(x^4 + 2x^3 - 8x^2\)

Чтобы упростить выражение, вынесем общий множитель:

\[ x^4 + 2x^3 - 8x^2 = x^2(x^2 + 2x - 8) \]

Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 8 = 0\):

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Корни находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]

Таким образом, \(x^4 + 2x^3 - 8x^2 = x^2(x - 2)(x + 4)\).

Шаг 3: Объединим корни

Теперь у нас есть следующие корни:

1. Для \(x^2 - 7x + 10\): \(x = 2, 5\)
2. Для \(x^4 + 2x^3 - 8x^2\): \(x = -4, 2\)

Следовательно, полный набор корней:

• \(x = -4\),
• \(x = 2\),
• \(x = 5\).

Шаг 4: Задание знаков

Рассмотрим знаки произведения \((x - 2)(x - 5)(x^2)(x + 4)\) на промежутках, образуемых корнями:

1. \(x < -4\)
2. \(-4 < x < 2\)
3. \(2 < x < 5\)
4. \(x > 5\)

Выберем тестовые точки для каждого из промежутков:

• Для \(x = -5\): \((-5 - 2)(-5 - 5)(25)(-1) = (-)(-)(+)(-) = +\)
• Для \(x = 0\): \((0 - 2)(0 - 5)(0)(4) = (-)(-)(0)(+) = 0\)
• Для \(x = 3\): \((3 - 2)(3 - 5)(9)(7) = (+)(-)(+)(+) = -\)
• Для \(x = 6\): \((6 - 2)(6 - 5)(36)(10) = (+)(+)(+)(+) = +\)

Шаг 5: Запишем итог

Соберем все данные по знакам:

• \(x < -4\) : +
• \(-4 < x < 2\) : 0 (не подходит, поскольку < 0)
• \(2 < x < 5\) : -
• \(x > 5\) : +

Таким образом, мы получаем, что неравенство \((x^2 - 7x + 10)(x^4 + 2x^3 - 8x^2) < 0\) выполняется в промежутке:

\[ (2, 5) \]

Ответ:

\(2 < x < 5\)