(x^2-7x+10)(x^4+2x^3-8x^2)<0

Чтобы решить неравенство \((x^2 - 7x + 10)(x^4 + 2x^3 - 8x^2) < 0\), давайте разберем каждую из составляющих и найдем промежутки, на которых произведение этих двух выражений меньше нуля. ### Шаг 1: Найдем корни первого множителя \(x^2 - 7x + 10\) Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 7x + 10 = 0 \] Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \] Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{2} \] Найдем корни: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \] Таким образом, \(x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)\). ### Шаг 2: Найдем корни второго множителя \(x^4 + 2x^3 - 8x^2\) Чтобы упростить выражение, вынесем общий множитель: \[ x^4 + 2x^3 - 8x^2 = x^2(x^2 + 2x - 8) \] Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 8 = 0\): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Найдем корни: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \] Таким образом, \(x^4 + 2x^3 - 8x^2 = x^2(x - 2)(x + 4)\). ### Шаг 3: Объединим корни Теперь у нас есть следующие корни: 1. Для \(x^2 - 7x + 10\): \(x = 2, 5\) 2. Для \(x^4 + 2x^3 - 8x^2\): \(x = -4, 2\) Следовательно, полный набор корней: - \(x = -4\), - \(x = 2\), - \(x = 5\). ### Шаг 4: Задание знаков Рассмотрим знаки произведения \((x - 2)(x - 5)(x^2)(x + 4)\) на промежутках, образуемых корнями: 1. \(x < -4\) 2. \(-4 < x < 2\) 3. \(2 < x < 5\) 4. \(x > 5\) Выберем тестовые точки для каждого из промежутков: - Для \(x = -5\): \((-5 - 2)(-5 - 5)(25)(-1) = (-)(-)(+)(-) = +\) - Для \(x = 0\): \((0 - 2)(0 - 5)(0)(4) = (-)(-)(0)(+) = 0\) - Для \(x = 3\): \((3 - 2)(3 - 5)(9)(7) = (+)(-)(+)(+) = -\) - Для \(x = 6\): \((6 - 2)(6 - 5)(36)(10) = (+)(+)(+)(+) = +\) ### Шаг 5: Запишем итог Соберем все данные по знакам: - \(x < -4\) : + - \(-4 < x < 2\) : 0 (не подходит, поскольку < 0) - \(2 < x < 5\) : - - \(x > 5\) : + Таким образом, мы получаем, что неравенство \((x^2 - 7x + 10)(x^4 + 2x^3 - 8x^2) < 0\) выполняется в промежутке: \[ (2, 5) \] ### Ответ: \(2 < x < 5\)