дано: в шестиугольник вписана окружность, в эту окружность вписан ещё один шестиугольник А6=2√7 найти: а6; периметры обеих шестиугольников

Чтобы решить задачу, рассмотрим два шестиугольника: внешний (в котором вписана окружность) и внутренний (в который вписана эта окружность).

1. Обозначения и свойства шестиугольников:

   • Параметр \( A_6 \) обозначает сторону внешнего шестиугольника, и нам дано \( A_6 = 2\sqrt{7} \).
   • Для шестиугольника, вписанного в окружность, можно использовать формулу для нахождения радиуса окружности \( R \), который равен: \[ R = \frac{A_6}{\sqrt{3}} \]

2. Найдем радиус окружности: \[ R = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3} \]

3. Сторона внутреннего шестиугольника:

   • Внутренний шестиугольник, вписанный в окружность с радиусом \( R \), имеет свою сторону, которую обозначим как \( a_6 \). Для его стороны справедлива следующая формула: \[ a_6 = R \cdot \sqrt{3} = \left(\frac{2\sqrt{21}}{3}\right) \cdot \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{63}}{3} = \frac{6\sqrt{7}}{3} = 2\sqrt{7} \]

4. Периметры шестиугольников:

   • Периметр внешнего шестиугольника \( P_1 \): \[ P_1 = 6 \cdot A_6 = 6 \cdot (2\sqrt{7}) = 12\sqrt{7} \]

   • Периметр внутреннего шестиугольника \( P_2 \): \[ P_2 = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot (2\sqrt{7}) = 12\sqrt{7} \]

5. Результаты:

   • Сторона внутреннего шестиугольника \( a_6 = 2\sqrt{7} \).
   • Периметры обоих шестиугольников:
     • Периметр внешнего шестиугольника \( P_1 = 12\sqrt{7} \).
     • Периметр внутреннего шестиугольника \( P_2 = 12\sqrt{7} \).

Таким образом, ответ:

• Сторона внутреннего шестиугольника \( a_6 = 2\sqrt{7} \).
• Периметры обоих шестиугольников равны \( P_1 = P_2 = 12\sqrt{7} \).