Определите четность (нечетность) и периодичность функции y=ctg2x

Чтобы определить четность (нечетность) и периодичность функции \( y = \cot(2x) \), следуем следующим шагам:

Определение четности

Функция \( f(x) \) называется четной, если выполняется условие \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения функции. Она называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \).

1. Найдем \( y(-x) \) для функции \( y = \cot(2x) \):

   \[ y(-x) = \cot(2(-x)) = \cot(-2x) \]

2. Используем свойство нечетности нисходящего тангенса (\( \cot(-u) = -\cot(u) \)):

   \[ \cot(-2x) = -\cot(2x) \]

Это показывает, что функция \( y = \cot(2x) \) является нечетной, так как \( y(-x) = -y(x) \).

Определение периодичности

Период функции \( f(x) \) - это наименьшее положительное число \( T \), для которого выполняется \( f(x + T) = f(x) \) для всех \( x \).

1. Тригонометрическая функция \( \cot(x) \) имеет период \( \pi \).

2. Для функции \( \cot(2x) \) период уменьшается вдвое, что следует из замены переменной \( u = 2x \). Это значит, что новый период будет:

   \[ T = \frac{\pi}{2} \]

Таким образом, функция \( y = \cot(2x) \) является нечетной и имеет период \( \frac{\pi}{2} \).