Постройте куб АВСДА1В1С1Д1 для каждой задачи отдельнот 1. Найдите угол между прямой В1М и плоскостью нижней грани, где ДМ=МС (постройте этот угол, сделайте выносной рисунок,…

Рассмотрим задачу по построению куба и нахождению углов между заданными прямыми и плоскостью нижней грани куба.

Построение куба

Давайте обозначим вершины куба следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(4, 0, 0) \)
• \( C(4, 4, 0) \)
• \( D(0, 4, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 4) \)
• \( B_1(4, 0, 4) \)
• \( C_1(4, 4, 4) \)
• \( D_1(0, 4, 4) \)

Теперь у нас есть все необходимые вершины для построения куба, где длина ребра равна 4.

Задача 1: Угол между прямой \( B_1M \) и плоскостью нижней грани

Шаг 1: Найдем координаты точки \( M \)

Точка \( M \) находится так, чтобы \( DM = MC \). Поскольку \( D(0, 4, 0) \) и \( C(4, 4, 0) \), точка \( M \) будет находиться посередине этого отрезка: \[ M = \left( \frac{0 + 4}{2}, 4, 0 \right) = (2, 4, 0). \]

Шаг 2: Запишем вектор \( B_1M \)

Координаты точки \( B_1(4, 0, 4) \), соответственно, \[ \overrightarrow{B_1M} = M - B_1 = (2, 4, 0) - (4, 0, 4) = (-2, 4, -4). \]

Шаг 3: Нормальный вектор плоскости нижней грани

Плоскость нижней грани куба (плоскость, содержащая \( ABCD \)) имеет нормальный вектор \( \vec{n} = (0, 0, 1) \).

Шаг 4: Угол между вектором и нормальным вектором

Используем формулу для нахождения косинуса угла между вектором и нормальным вектором: \[ \cos(\theta) = \frac{\left| \overrightarrow{B_1M} \cdot \vec{n} \right|}{|\overrightarrow{B_1M}| \cdot |\vec{n}|}. \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{B_1M} \cdot \vec{n} = (-2, 4, -4) \cdot (0, 0, 1) = -4. \] Найдём длину вектора \( \overrightarrow{B_1M} \): \[ |\overrightarrow{B_1M}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6. \] Длина нормального вектора равна 1: \[ |\vec{n}| = 1. \] Теперь можем найти косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{|-4|}{6 \cdot 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]

Задача 2: Угол между прямой \( B_1A \) и плоскостью нижней грани

Шаг 1: Запишем вектор \( B_1A \)

Координаты точки \( A(0, 0, 0) \): \[ \overrightarrow{B_1A} = A - B_1 = (0, 0, 0) - (4, 0, 4) = (-4, 0, -4). \]

Шаг 2: Снова находим косинус угла

Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{B_1A} \cdot \vec{n} = (-4, 0, -4) \cdot (0, 0, 1) = -4. \] Длина вектора \( \overrightarrow{B_1A} \): \[ |\overrightarrow{B_1A}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. \] И снова длина нормального вектора равна 1: \[ \cos(\theta) = \frac{|-4|}{4\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Задача 3: Угол между прямой \( B_1D \) и плоскостью нижней грани

Шаг 1: Запишем вектор \( B_1D \)

Координаты точки \( D(0, 4, 0) \): \[ \overrightarrow{B_1D} = D - B_1 = (0, 4, 0) - (4, 0, 4) = (-4, 4, -4). \]

Шаг 2: Снова находим косинус угла

Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{B_1D} \cdot \vec{n} = (-4, 4, -4) \cdot (0, 0, 1) = -4. \] Длина вектора \( \overrightarrow{B_1D} \): \[ |\overrightarrow{B_1D}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}. \] Таким образом, косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{|-4|}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Заключение

Мы нашли все углы между указанными прямыми и плоскостью нижней грани куба. Обратите внимание, что для графического представления каждого угла вам необходимо нарисовать векторы и сами углы на графиках, основываясь на полученных координатах и векторах. Удачи в вашей учёбе!