Светлана готовилась к олимпиаде Учи.ру по математике и в течение 16 дней решала задачи. В первый день она решила 8 задач, а в каждый следующий день на 3 задачи больше, чем в…
Светлана готовилась к олимпиаде Учи.ру по математике и в течение 16 дней решала задачи. В первый день она решила 8 задач, а в каждый следующий день на 3 задачи больше, чем в предыдущий. Сколько всего задач решила Светлана?
Для решения задачи о количестве задач, которые решила Светлана, будем использовать арифметическую прогрессию. Давайте разберёмся, как найти общее количество решённых задач.
- Определим количество задач, решённых Светланой в каждый день:
- В первый день она решила 8 задач.
- Во второй день она решила на 3 задачи больше, чем в первый: \(8 + 3 = 11\).
- В третий день — ещё на 3 задачи больше, чем во второй: \(11 + 3 = 14\).
- И так далее.
Обозначим количество задач, решённых в \(n\)-й день, через \(a_n\): \[ a_n = 8 + (n - 1) \cdot 3 \]
- Подсчитаем количество задач, решённых Светланой за 16 дней: Теперь нам нужно найти количество задач, решённых Светланой за все 16 дней. Мы можем воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии:
Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где:
- \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов,
- \(a_1\) — первый член прогрессии (в нашем случае это 8),
- \(a_n\) — \(n\)-й член прогрессии.
Найдём \(a_{16}\): Вычислим количество задач, решённых в 16-й день: \[ a_{16} = 8 + (16 - 1) \cdot 3 = 8 + 15 \cdot 3 = 8 + 45 = 53 \]
Теперь подставим в формулу для суммы: Подставим \(n = 16\), \(a_1 = 8\), \(a_{16} = 53\): \[ S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (8 + 53) = 8 \cdot 61 = 488 \]
Ответ: Таким образом, Светлана решила всего 488 задач.
Это решение показывает, как накапливаются задачи при условии, что каждый день Светлана решает на 3 задачи больше, чем в предыдущий.
