Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 60 до 80 востребуют свои акции, если вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут…

Давайте решим задачу, используя неравенство Чебышева.

Дано:

• Общее количество клиентов \( n = 1000 \).
• Вероятность того, что клиент востребует акции, \( p = 0.07 \).
• Нам нужно найти вероятность того, что от 60 до 80 клиентов (включительно) востребуют акции.

Шаг 1: Найдите математическое ожидание \( E(X) \) и дисперсию \( D(X) \) для биномиального распределения

Для биномиального распределения:

\[ E(X) = n \cdot p = 1000 \cdot 0.07 = 70 \]

\[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1000 \cdot 0.07 \cdot (1 - 0.07) = 1000 \cdot 0.07 \cdot 0.93 = 65.1 \]

Шаг 2: Примените неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева для оценки вероятности отклонения от математического ожидания:

\[ P(|X - E(X)| \geq a) \leq \frac{D(X)}{a^2} \]

Мы хотим найти вероятность обратного события (что количество клиентов от 60 до 80):

1. Отклонение от \( E(X) = 70 \) — это \( a \).
2. Дистанция от 60 до 70: \( a_1 = 10 \).
3. Дистанция от 70 до 80: \( a_2 = 10 \).

Теперь найдём вероятность, что отклонение больше либо равно 10:
\[ P(|X - 70| \geq 10) \leq \frac{65.1}{10^2} = \frac{65.1}{100} = 0.651 \]

Теперь оценим вероятность внутри интервала \( [60, 80] \):

Это будет \( 1 - 0.651 = 0.349 \).

Таким образом, вероятность того, что количество клиентов удовлетворяет условие \( 60 \leq X \leq 80 \) примерно \( 1 - 0.651 = 0.349 \).

Ответ:

Вероятность, что количество клиентов будет от 60 до 80 приблизительно 0.349, и величина \( 1 - Dx \) равна 0.349.