Реши

Давайте разберёмся, как решить это выражение. Нам дано: \[ \sqrt{105 + 20\sqrt{5} - 5}. \] Упростим выражение под корнем: \[ 105 + 20\sqrt{5} - 5 = 100 + 20\sqrt{5}. \] Теперь попробуем представить это выражение в виде разности квадратов: \[ (a + b\sqrt{5})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2. \] Сравниваем с \( 100 + 20\sqrt{5} \). Получаем: \[ a^2 + 5b^2 = 100, \] \[ 2ab = 20. \] Из второго уравнения находим: \[ ab = 10 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{10}{a}. \] Подставим \( b = \frac{10}{a} \) в первое уравнение: \[ a^2 + 5\left(\frac{10}{a}\right)^2 = 100. \] Это даст: \[ a^2 + \frac{500}{a^2} = 100. \] Умножим всё уравнение на \( a^2 \): \[ a^4 - 100a^2 + 500 = 0. \] Решим это квадратное уравнение относительно \( a^2 \): Обозначим \( x = a^2 \). Тогда: \[ x^2 - 100x + 500 = 0. \] Решим с помощью дискриминанта: Дискриминант \( D = 10000 - 2000 = 8000. \) \[ \sqrt{8000} = 20\sqrt{20} = 40\sqrt{5}. \] \[ x = \frac{100 \pm 40\sqrt{5}}{2} = 50 \pm 20\sqrt{5}. \] Возьмём \( x = 50 + 20\sqrt{5} \), так как это больше 0. Тогда \( a^2 = 50 + 20\sqrt{5} \). Теперь найдём \( a \): \[ a = \sqrt{50 + 20\sqrt{5}}. \] С другой стороны, поскольку мы знаем, что \( ab = 10 \): Подставим: \[ b = \frac{10}{\sqrt{50 + 20\sqrt{5}}}. \] Тогда \( a + b\sqrt{5} = \sqrt{50} + \sqrt{5} = 5\sqrt{2} + \sqrt{5} \). По сути, если: \[ \sqrt{105 + 20\sqrt{5} - 5} = (a + b\sqrt{5}), \] То есть: \[ a + 0 = 5\sqrt{2}, \quad 0 + b\sqrt{5} = \sqrt{5}, \] Таким образом, итоговый ответ: \(\boxed{10}\)