реши

Давайте разберёмся, как решить это выражение.

Нам дано:

\[ \sqrt{105 + 20\sqrt{5} - 5}. \]

Упростим выражение под корнем:

\[ 105 + 20\sqrt{5} - 5 = 100 + 20\sqrt{5}. \]

Теперь попробуем представить это выражение в виде разности квадратов:

\[ (a + b\sqrt{5})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2. \]

Сравниваем с \( 100 + 20\sqrt{5} \). Получаем:

\[ a^2 + 5b^2 = 100, \] \[ 2ab = 20. \]

Из второго уравнения находим:

\[ ab = 10 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{10}{a}. \]

Подставим \( b = \frac{10}{a} \) в первое уравнение:

\[ a^2 + 5\left(\frac{10}{a}\right)^2 = 100. \]

Это даст:

\[ a^2 + \frac{500}{a^2} = 100. \]

Умножим всё уравнение на \( a^2 \):

\[ a^4 - 100a^2 + 500 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( a^2 \):

Обозначим \( x = a^2 \). Тогда:

\[ x^2 - 100x + 500 = 0. \]

Решим с помощью дискриминанта:

Дискриминант \( D = 10000 - 2000 = 8000. \)

\[ \sqrt{8000} = 20\sqrt{20} = 40\sqrt{5}. \]

\[ x = \frac{100 \pm 40\sqrt{5}}{2} = 50 \pm 20\sqrt{5}. \]

Возьмём \( x = 50 + 20\sqrt{5} \), так как это больше 0.

Тогда \( a^2 = 50 + 20\sqrt{5} \).

Теперь найдём \( a \):

\[ a = \sqrt{50 + 20\sqrt{5}}. \]

С другой стороны, поскольку мы знаем, что \( ab = 10 \):

Подставим:

\[ b = \frac{10}{\sqrt{50 + 20\sqrt{5}}}. \]

Тогда \( a + b\sqrt{5} = \sqrt{50} + \sqrt{5} = 5\sqrt{2} + \sqrt{5} \).

По сути, если:

\[ \sqrt{105 + 20\sqrt{5} - 5} = (a + b\sqrt{5}), \]

То есть:

\[ a + 0 = 5\sqrt{2}, \quad 0 + b\sqrt{5} = \sqrt{5}, \]

Таким образом, итоговый ответ:

\(\boxed{10}\)