В треугольнике ABC угол С равен 90°, cosB =20/29, ВC = 90. Найдите АВ.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных: - У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Прямоугольный треугольник можно решить, используя тригонометрические функции. - Из условия мы знаем, что \( \cos B = \frac{20}{29} \) и \( BC = 90 \). ### Шаг 1: Определяем стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике ABC: - \( AB \) - гипотенуза, - \( BC \) - один из катетов (по данным, \( BC = 90 \)), - \( AC \) - второй катет. ### Шаг 2: Используем косинус для вычисления стороны AC. Согласно определению косинуса для угла B: \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \] Мы можем выразить \( AC \): \[ AC = AB \cdot \cos B \] Подставим известное значение \( \cos B \): \[ AC = AB \cdot \frac{20}{29} \] ### Шаг 3: Применим теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим \( AC = AB \cdot \frac{20}{29} \) и \( BC = 90 \): \[ AB^2 = \left( AB \cdot \frac{20}{29} \right)^2 + 90^2 \] ### Шаг 4: Упростим уравнение. Раскроем скобки: \[ AB^2 = AB^2 \cdot \left(\frac{20}{29}\right)^2 + 90^2 \] Где \( \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{400}{841} \): \[ AB^2 = AB^2 \cdot \frac{400}{841} + 8100 \] ### Шаг 5: Переносим все члены на одну сторону. Соберем все слагаемые на одной стороне уравнения: \[ AB^2 - AB^2 \cdot \frac{400}{841} = 8100 \] Вынесем \( AB^2 \) за скобки: \[ AB^2 \left(1 - \frac{400}{841}\right) = 8100 \] Посчитаем \( 1 - \frac{400}{841} = \frac{841 - 400}{841} = \frac{441}{841} \): \[ AB^2 \cdot \frac{441}{841} = 8100 \] ### Шаг 6: Найдем AB². Теперь выразим \( AB^2 \): \[ AB^2 = 8100 \cdot \frac{841}{441} \] Сначала посчитаем \( \frac{8100}{441} \): \[ \frac{8100}{441} \approx 18.375 \] Теперь умножим на 841: \[ AB^2 \approx 18.375 \cdot 841 \approx 15488.125 \] ### Шаг 7: Находим AB. Теперь возьмем квадратный корень: \[ AB \approx \sqrt{15488.125} \approx 124. \] ### Ответ: Длина гипотенузы \( AB \) примерно равна 124. Таким образом, мы нашли нужную длину стороны треугольника, используя данные о катете и косинус угла.