В треугольнике ABC угол С равен 90°, cosB =20/29, ВC = 90. Найдите АВ.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных:

• У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Прямоугольный треугольник можно решить, используя тригонометрические функции.
• Из условия мы знаем, что \( \cos B = \frac{20}{29} \) и \( BC = 90 \).

Шаг 1: Определяем стороны треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( AB \) - гипотенуза,
• \( BC \) - один из катетов (по данным, \( BC = 90 \)),
• \( AC \) - второй катет.

Шаг 2: Используем косинус для вычисления стороны AC.

Согласно определению косинуса для угла B:

\[ \cos B = \frac{AC}{AB} \]

Мы можем выразить \( AC \):

\[ AC = AB \cdot \cos B \] Подставим известное значение \( \cos B \):

\[ AC = AB \cdot \frac{20}{29} \]

Шаг 3: Применим теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим \( AC = AB \cdot \frac{20}{29} \) и \( BC = 90 \):

\[ AB^2 = \left( AB \cdot \frac{20}{29} \right)^2 + 90^2 \]

Шаг 4: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

\[ AB^2 = AB^2 \cdot \left(\frac{20}{29}\right)^2 + 90^2 \]

Где \( \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{400}{841} \):

\[ AB^2 = AB^2 \cdot \frac{400}{841} + 8100 \]

Шаг 5: Переносим все члены на одну сторону.

Соберем все слагаемые на одной стороне уравнения:

\[ AB^2 - AB^2 \cdot \frac{400}{841} = 8100 \]

Вынесем \( AB^2 \) за скобки:

\[ AB^2 \left(1 - \frac{400}{841}\right) = 8100 \]

Посчитаем \( 1 - \frac{400}{841} = \frac{841 - 400}{841} = \frac{441}{841} \):

\[ AB^2 \cdot \frac{441}{841} = 8100 \]

Шаг 6: Найдем AB².

Теперь выразим \( AB^2 \):

\[ AB^2 = 8100 \cdot \frac{841}{441} \]

Сначала посчитаем \( \frac{8100}{441} \):

\[ \frac{8100}{441} \approx 18.375 \]

Теперь умножим на 841:

\[ AB^2 \approx 18.375 \cdot 841 \approx 15488.125 \]

Шаг 7: Находим AB.

Теперь возьмем квадратный корень:

\[ AB \approx \sqrt{15488.125} \approx 124. \]

Ответ:

Длина гипотенузы \( AB \) примерно равна 124.

Таким образом, мы нашли нужную длину стороны треугольника, используя данные о катете и косинус угла.