В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора A C → + C B → . AC + C

В данной задаче нам необходимо найти длину вектора \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где угол \( C \) является прямым. Прежде всего, рассмотрим данные, которые у нас есть:

1. \( AC = 3 \)
2. \( BC = 4 \)
3. Угол \( C \) — прямой

Шаг 1: Находим длину стороны \( AB \)

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора длина гипотенузы (в данном случае стороны \( AB \)) вычисляется по формуле:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]

Подставляем известные значения:

\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 2: Определяем координаты точек

Для удобства можем задать координаты точек:

• \( C(0, 0) \) (начало координат)
• \( A(3, 0) \) (так как \( AC = 3 \))
• \( B(0, 4) \) (так как \( BC = 4 \))

Шаг 3: Находим векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CB} \)

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно выразить как:

\[ \overrightarrow{AC} = A - C = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0) \]

Вектор \( \overrightarrow{CB} \):

\[ \overrightarrow{CB} = B - C = (0, 4) - (0, 0) = (0, 4) \]

Шаг 4: Суммируем векторы

Теперь найдем сумму векторов \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \):

\[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) \]

Шаг 5: Находим длину суммы векторов

Длина вектора \( (3, 4) \) вычисляется по формуле:

\[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Где \( x \) и \( y \) — это компоненты вектора. Подставим значения:

\[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ

Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \) равна \( 5 \).