В данной задаче нам необходимо найти длину вектора ( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} ) в прямоугольном треугольнике ( ABC ), где угол ( C ) является прямым. Прежде всего, рассмотрим данные, которые у нас есть:
- ( AC = 3 )
- ( BC = 4 )
- Угол ( C ) — прямой
Шаг 1: Находим длину стороны ( AB )
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора длина гипотенузы (в данном случае стороны ( AB )) вычисляется по формуле:
[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}
]
Подставляем известные значения:
[
AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Шаг 2: Определяем координаты точек
Для удобства можем задать координаты точек:
- ( C(0, 0) ) (начало координат)
- ( A(3, 0) ) (так как ( AC = 3 ))
- ( B(0, 4) ) (так как ( BC = 4 ))
Шаг 3: Находим векторы ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{CB} )
Вектор ( \overrightarrow{AC} ) можно выразить как:
[
\overrightarrow{AC} = A - C = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0)
]
Вектор ( \overrightarrow{CB} ):
[
\overrightarrow{CB} = B - C = (0, 4) - (0, 0) = (0, 4)
]
Шаг 4: Суммируем векторы
Теперь найдем сумму векторов ( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} ):
[
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4)
]
Шаг 5: Находим длину суммы векторов
Длина вектора ( (3, 4) ) вычисляется по формуле:
[
|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Где ( x ) и ( y ) — это компоненты вектора. Подставим значения:
[
|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Ответ
Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} ) равна ( 5 ).
