Для решения данной задачи мы используем основы теории вероятностей. Давайте сначала обозначим события и найдем необходимые вероятности.
Обозначения:
- ( A ) — событие, что случайно вынутый носок серый.
- ( B ) — событие, что случайно вынутый носок Петин.
Состав носков:
- Петиные: 12 синих + 16 серых = 28 носков
- Васиные: 8 синих + 14 серых = 22 носка
- Всего носков в ящике: ( 28 + 22 = 50 )
Теперь давайте найдем размеры и вероятности для событий ( A ) и ( B ):
Шаг 1: Найдем ( P(A) )
Событие ( A ): носок серый.
Серая носка Пети: 16, серых носка Васи: 14.
Всего серых носков: ( 16 + 14 = 30 ).
Следовательно, вероятность события ( A ):
[
P(A) = \frac{\text{Количество серых носков}}{\text{Общее количество носков}} = \frac{30}{50} = 0.6
]
Шаг 2: Найдем ( P(B) )
Событие ( B ): носок Петин.
Всего Петиных носков: ( 28 ).
Вероятность события ( B ):
[
P(B) = \frac{\text{Количество Петиних носков}}{\text{Общее количество носков}} = \frac{28}{50} = 0.56
]
Шаг 3: Найдем ( P(A \cap B) )
Событие ( A \cap B ): случайно вынутый носок серый и Петин.
Количество серых носков Пети: 16.
Вероятность ( P(A \cap B) ):
[
P(A \cap B) = \frac{\text{Количество серых Петиних носков}}{\text{Общее количество носков}} = \frac{16}{50} = 0.32
]
Шаг 4: Найдем ( P(A \cup B) )
Событие ( A \cup B ): носок либо серый, либо Петин (или то и другое).
Для нахождения ( P(A \cup B) ) используем формулу:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]
Подставим известные значения:
[
P(A \cup B) = 0.6 + 0.56 - 0.32 = 0.84
]
Ответы:
a) ( P(A \cap B) = 0.32 )
б) ( P(A \cup B) = 0.84 )
Таким образом, мы нашли вероятность того, что случайно выбранный носок серый и Петин, а также вероятность того, что носок либо серый, либо Петин.
