3. У двух братьев Пети и Васи общий ящик с носками. Носки Пети и Васи отличаются размером (все Петины носки одного размера, а все Ва-сины другого). В ящике 12 Петиных синих…

Для решения данной задачи мы используем основы теории вероятностей. Давайте сначала обозначим события и найдем необходимые вероятности.

Обозначения:

• \( A \) — событие, что случайно вынутый носок серый.
• \( B \) — событие, что случайно вынутый носок Петин.

Состав носков:

• Петиные: 12 синих + 16 серых = 28 носков
• Васиные: 8 синих + 14 серых = 22 носка
• Всего носков в ящике: \( 28 + 22 = 50 \)

Теперь давайте найдем размеры и вероятности для событий \( A \) и \( B \):

Шаг 1: Найдем \( P(A) \)

Событие \( A \): носок серый. Серая носка Пети: 16, серых носка Васи: 14.
Всего серых носков: \( 16 + 14 = 30 \).

Следовательно, вероятность события \( A \):

\[ P(A) = \frac{\text{Количество серых носков}}{\text{Общее количество носков}} = \frac{30}{50} = 0.6 \]

Шаг 2: Найдем \( P(B) \)

Событие \( B \): носок Петин. Всего Петиных носков: \( 28 \).

Вероятность события \( B \):

\[ P(B) = \frac{\text{Количество Петиних носков}}{\text{Общее количество носков}} = \frac{28}{50} = 0.56 \]

Шаг 3: Найдем \( P(A \cap B) \)

Событие \( A \cap B \): случайно вынутый носок серый и Петин.
Количество серых носков Пети: 16.

Вероятность \( P(A \cap B) \):

\[ P(A \cap B) = \frac{\text{Количество серых Петиних носков}}{\text{Общее количество носков}} = \frac{16}{50} = 0.32 \]

Шаг 4: Найдем \( P(A \cup B) \)

Событие \( A \cup B \): носок либо серый, либо Петин (или то и другое).

Для нахождения \( P(A \cup B) \) используем формулу:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Подставим известные значения:

\[ P(A \cup B) = 0.6 + 0.56 - 0.32 = 0.84 \]

Ответы:

a) \( P(A \cap B) = 0.32 \)
б) \( P(A \cup B) = 0.84 \)

Таким образом, мы нашли вероятность того, что случайно выбранный носок серый и Петин, а также вероятность того, что носок либо серый, либо Петин.