Рассмотрим задачу о вероятности выбора мальчиков из группы велосипедистов.
- Общее количество велосипедистов: 60 человек
- Количество девочек: 25 человек
- Следовательно, количество мальчиков: 60 - 25 = 35 человек
Теперь мы хотим рассчитать вероятность того, что все 4 человека, выбранные случайно, окажутся мальчиками.
Шаг 1: Общее количество способов выбрать 4 человека из 60
Используем формулу сочетаний для вычисления количества способов выбрать 4 человека из 60:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
где ( n ) - общее количество человек, ( k ) - количество человек, которые мы выбираем. В нашем случае:
[
C(60, 4) = \frac{60!}{4!(60 - 4)!} = \frac{60!}{4! \cdot 56!}
]
Вычисляем это:
[
C(60, 4) = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57}{24}
]
Рассчитаем числитель:
[
60 \times 59 = 3540
]
[
3540 \times 58 = 205320
]
[
205320 \times 57 = 11615440
]
Теперь делим на 24:
[
C(60, 4) = \frac{11615440}{24} = 484785
]
Шаг 2: Количество способов выбрать 4 мальчиков из 35
Теперь найдем количество способов выбрать 4 мальчиков из 35, используя ту же формулу:
[
C(35, 4) = \frac{35!}{4!(35 - 4)!} = \frac{35!}{4! \cdot 31!}
]
Вычисляем:
[
C(35, 4) = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Сначала вычислим числитель:
[
35 \times 34 = 1190
]
[
1190 \times 33 = 39270
]
[
39270 \times 32 = 1256640
]
Теперь делим на 24:
[
C(35, 4) = \frac{1256640}{24} = 52360
]
Шаг 3: Рассчитаем вероятность того, что все 4 выбранных человека окажутся мальчиками
Вероятность того, что все выбранные окажутся мальчиками, вычисляется по формуле:
[
P = \frac{C(35, 4)}{C(60, 4)}
]
Подставим значения:
[
P = \frac{52360}{484785}
]
Теперь, чтобы упростить дробь, можно посчитать это значение:
[
P \approx 0.1079
]
Ответ
Вероятность того, что все выбранные 4 человека окажутся мальчиками, составляет приблизительно 0.1079 или 10.79%.
