В треугольнике одна из сторон равна 5 ⋅ 2 5⋅ 2 , другая сторона равна 7 7 , а угол между ними равен 4 5 ∘ 45 ∘ . Найди площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где:

• \(S\) — площадь треугольника,
• \(a\) и \(b\) — длины сторон треугольника,
• \(C\) — угол между этими сторонами.

В вашей задаче:

• одна сторона \(a = 5\),
• другая сторона \(b = 7\),
• угол \(C = 45^\circ\).

Теперь давайте подставим известные значения в формулу.

1. Находим значение синуса угла \(C\): \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Подставляем значения в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin(45^\circ) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. Считаем произведение:

   • Сначала вычислим \(5 \cdot 7 = 35\).
   • Затем \(S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{35\sqrt{2}}{4}\).

4. Упрощаем: \[ S = \frac{35\sqrt{2}}{4} \approx 12.25\sqrt{2} \approx 17.32 \]

Таким образом, площадь треугольника составляет \( \frac{35\sqrt{2}}{4} \) квадратных единиц, или примерно \( 17.32 \) квадратных единиц.