y=x²+8/1-x монотонность экстремумы и перегибы краткое решение

Чтобы исследовать функцию \( y = \frac{x^2 + 8}{1 - x} \) на монотонность, экстремумы и перегибы, следуем следующим шагам:

1. Находим производную функции

Сначала найдем производную \( y' \) для исследования монотонности:

Используем правило дифференцирования дроби:

\[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \]

где \( u = x^2 + 8 \) и \( v = 1 - x \).

Находим производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = 2x \)
• \( v' = -1 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ y' = \frac{(2x)(1 - x) - (x^2 + 8)(-1)}{(1 - x)^2} \]

Упрощаем числитель:

\[ = \frac{2x - 2x^2 + x^2 + 8}{(1 - x)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 8}{(1 - x)^2} \]

2. Нахождение критических точек

Чтобы найти точки, где функция меняет монотонность, приравняем производную к нулю:

\[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} = 4 \text{ и } -2 \]

3. Определяем интервалы монотонности

Теперь определим знаки производной на интервалах, которые определяются критическими точками (-2 и 4).

• Для интервала \( (-\infty, -2) \): подставим \( x = -3 \):

\[ y'(-3) = \frac{-(-3)^2 + 2(-3) + 8}{(1 - (-3))^2} = \frac{-9 - 6 + 8}{16} = \frac{-7}{16} < 0 \quad (\text{убывает}) \]

• Для интервала \( (-2, 4) \): подставим \( x = 0 \):

\[ y'(0) = \frac{-(0)^2 + 2(0) + 8}{(1 - 0)^2} = \frac{8}{1} = 8 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]

• Для интервала \( (4, +\infty) \): подставим \( x = 5 \):

\[ y'(5) = \frac{-(5)^2 + 2(5) + 8}{(1 - 5)^2} = \frac{-25 + 10 + 8}{16} = \frac{-7}{16} < 0 \quad (\text{убывает}) \]

4. Найдем экстремумы

Функция возрастает на интервале \( (-2, 4) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (4, +\infty) \). Это означает, что в точках x = -2 и x = 4 находятся экстремумы:

• \( x = -2 \) - минимум;
• \( x = 4 \) - максимум.

5. Исследуем перегибы

Для нахождения перегибов найдем вторую производную \( y'' \). Для нахождения второй производной производим дифференцирование первой производной:

Находим производную \( y' \):

\[ y' = \frac{-x^2 + 2x + 8}{(1 - x)^2} \]

Вводим обозначения для удобства:

\( f(x) = -x^2 + 2x + 8 \) и \( g(x) = (1 - x)^2 \).

Применим правило частного:

\[ y'' = \frac{(f' g - f g')}{g^2} \]

где

\[ f' = -2x + 2, \quad g' = -2(1 - x) \]

Итоговая информация

• Экстремумы:

  • Минимум в точке \( x = -2 \)
  • Максимум в точке \( x = 4 \)

• Монотонность:

  • Убывает на \( (-\infty, -2) \) и \( (4, +\infty) \)
  • Возрастает на \( (-2, 4) \)

Проведенное исследование позволяет понять поведение функции на различных участках её графика.