Y=x²+8/1-x монотонность экстремумы и перегибы краткое решение

Чтобы исследовать функцию \( y = \frac{x^2 + 8}{1 - x} \) на монотонность, экстремумы и перегибы, следуем следующим шагам: ### 1. Находим производную функции Сначала найдем производную \( y' \) для исследования монотонности: Используем правило дифференцирования дроби: \[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] где \( u = x^2 + 8 \) и \( v = 1 - x \). Находим производные \( u' \) и \( v' \): - \( u' = 2x \) - \( v' = -1 \) Теперь подставим в формулу: \[ y' = \frac{(2x)(1 - x) - (x^2 + 8)(-1)}{(1 - x)^2} \] Упрощаем числитель: \[ = \frac{2x - 2x^2 + x^2 + 8}{(1 - x)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 8}{(1 - x)^2} \] ### 2. Нахождение критических точек Чтобы найти точки, где функция меняет монотонность, приравняем производную к нулю: \[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \] Умножим на -1: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} = 4 \text{ и } -2 \] ### 3. Определяем интервалы монотонности Теперь определим знаки производной на интервалах, которые определяются критическими точками (-2 и 4). - Для интервала \( (-\infty, -2) \): подставим \( x = -3 \): \[ y'(-3) = \frac{-(-3)^2 + 2(-3) + 8}{(1 - (-3))^2} = \frac{-9 - 6 + 8}{16} = \frac{-7}{16} < 0 \quad (\text{убывает}) \] - Для интервала \( (-2, 4) \): подставим \( x = 0 \): \[ y'(0) = \frac{-(0)^2 + 2(0) + 8}{(1 - 0)^2} = \frac{8}{1} = 8 > 0 \quad (\text{возрастает}) \] - Для интервала \( (4, +\infty) \): подставим \( x = 5 \): \[ y'(5) = \frac{-(5)^2 + 2(5) + 8}{(1 - 5)^2} = \frac{-25 + 10 + 8}{16} = \frac{-7}{16} < 0 \quad (\text{убывает}) \] ### 4. Найдем экстремумы Функция возрастает на интервале \( (-2, 4) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (4, +\infty) \). Это означает, что в точках x = -2 и x = 4 находятся экстремумы: - \( x = -2 \) - минимум; - \( x = 4 \) - максимум. ### 5. Исследуем перегибы Для нахождения перегибов найдем вторую производную \( y'' \). Для нахождения второй производной производим дифференцирование первой производной: Находим производную \( y' \): \[ y' = \frac{-x^2 + 2x + 8}{(1 - x)^2} \] Вводим обозначения для удобства: \( f(x) = -x^2 + 2x + 8 \) и \( g(x) = (1 - x)^2 \). Применим правило частного: \[ y'' = \frac{(f' g - f g')}{g^2} \] где \[ f' = -2x + 2, \quad g' = -2(1 - x) \] ### Итоговая информация - **Экстремумы:** - Минимум в точке \( x = -2 \) - Максимум в точке \( x = 4 \) - **Монотонность:** - Убывает на \( (-\infty, -2) \) и \( (4, +\infty) \) - Возрастает на \( (-2, 4) \) Проведенное исследование позволяет понять поведение функции на различных участках её графика.