Если три числа ( a = 2x - 1 ), ( b = x + 3 ) и ( c = x + 15 ) являются последовательными членами геометрической прогрессии, то выполняется условие:
[
b^2 = ac
]
Подставим выражения для ( a ), ( b ), и ( c ):
[
(x + 3)^2 = (2x - 1)(x + 15)
]
Теперь развернем обе стороны уравнения:
- Левую часть:
[
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
]
- Правую часть:
[
(2x - 1)(x + 15) = 2x^2 + 30x - x - 15 = 2x^2 + 29x - 15
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
x^2 + 6x + 9 = 2x^2 + 29x - 15
]
Приведем все к одной стороне:
[
0 = 2x^2 + 29x - 15 - x^2 - 6x - 9
]
Упростим:
[
0 = x^2 + 23x - 24
]
Теперь решим квадратное уравнение:
[
x^2 + 23x - 24 = 0
]
Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом:
[
D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 529 + 96 = 625
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 \pm 25}{2}
]
Получаем два корня:
- ( x_1 = \frac{2}{2} = 1 )
- ( x_2 = \frac{-48}{2} = -24 )
Теперь подставим эти значения ( x ) обратно в выражения ( a ), ( b ) и ( c ).
- Для ( x = 1 ):
[
a = 2(1) - 1 = 1, \quad b = 1 + 3 = 4, \quad c = 1 + 15 = 16
]
Проверим, являются ли ( 1, 4, 16 ) членами геометрической прогрессии:
[
(4)^2 = 1 \cdot 16 \quad \text{(истинно)}
]
- Для ( x = -24 ):
[
a = 2(-24) - 1 = -49, \quad b = -24 + 3 = -21, \quad c = -24 + 15 = -9
]
Проверим, являются ли ( -49, -21, -9 ) членами геометрической прогрессии:
[
(-21)^2 = (-49)(-9) \quad \Rightarrow \quad 441 = 441 \quad \text{(истинно)}
]
Таким образом, у нас есть два варианта решений.
Ответ
Значения ( x = 1 ) и ( x = -24 ).
Члены прогрессии:
- При ( x = 1 ): ( 1, 4, 16 )
- При ( x = -24 ): ( -49, -21, -9 )
