При каком значении х значения выражений 2х - 1, х + 3 и х + 15 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
Если три числа \( a = 2x - 1 \), \( b = x + 3 \) и \( c = x + 15 \) являются последовательными членами геометрической прогрессии, то выполняется условие:
\[ b^2 = ac \]
Подставим выражения для \( a \), \( b \), и \( c \):
\[ (x + 3)^2 = (2x - 1)(x + 15) \]
Теперь развернем обе стороны уравнения:
- Левую часть:
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
- Правую часть:
\[ (2x - 1)(x + 15) = 2x^2 + 30x - x - 15 = 2x^2 + 29x - 15 \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ x^2 + 6x + 9 = 2x^2 + 29x - 15 \]
Приведем все к одной стороне:
\[ 0 = 2x^2 + 29x - 15 - x^2 - 6x - 9 \]
Упростим:
\[ 0 = x^2 + 23x - 24 \]
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ x^2 + 23x - 24 = 0 \]
Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом:
\[ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 529 + 96 = 625 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 \pm 25}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x_1 = \frac{2}{2} = 1 \)
- \( x_2 = \frac{-48}{2} = -24 \)
Теперь подставим эти значения \( x \) обратно в выражения \( a \), \( b \) и \( c \).
- Для \( x = 1 \):
\[ a = 2(1) - 1 = 1, \quad b = 1 + 3 = 4, \quad c = 1 + 15 = 16 \]
Проверим, являются ли \( 1, 4, 16 \) членами геометрической прогрессии: \[ (4)^2 = 1 \cdot 16 \quad \text{(истинно)} \]
- Для \( x = -24 \):
\[ a = 2(-24) - 1 = -49, \quad b = -24 + 3 = -21, \quad c = -24 + 15 = -9 \]
Проверим, являются ли \( -49, -21, -9 \) членами геометрической прогрессии: \[ (-21)^2 = (-49)(-9) \quad \Rightarrow \quad 441 = 441 \quad \text{(истинно)} \]
Таким образом, у нас есть два варианта решений.
Ответ
Значения \( x = 1 \) и \( x = -24 \). Члены прогрессии:
- При \( x = 1 \): \( 1, 4, 16 \)
- При \( x = -24 \): \( -49, -21, -9 \)
