дана правильная четырехугольная пирамида. сторона основания 4 см, двугранный угол при стороне основания 45°. найти площадь полной поверхности пирамиды

Для решения задачи о правильной четырехугольной пирамиде с заданными параметрами, давайте пошагово разберемся, как найти площадь полной поверхности пирамиды.

1. Определим элементы пирамиды:

   • Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание.
   • Сторона квадрата (основания) равна 4 см.
   • Двугранный угол при боковой грани равен 45°.

2. Найдём высоту боковой грани (генератор):

   • Двугранный угол при стороне основания 45° означает, что если опустить перпендикуляр из верхней вершины пирамиды до центра квадрата, этот перпендикуляр будет составлять 45° с боковой гранью.

   • Так как основание пирамиды представляет собой квадрат, центр квадрата (основания) будет находиться на расстоянии \( \frac{4}{2} = 2 \) см от любой его стороны, так как сторона основания равна 4 см.

   • Теперь, используя свойства прямоугольного треугольника, где одна сторона равна 2 см (половина стороны квадрата), а угол равен 45°, можем найти высоту боковой грани:

     • Если высота отмечаемого перпендикуляра обозначена как \( h \), тогда: \[ \tan(45°) = \frac{h}{2} \] \[ 1 = \frac{h}{2} \Rightarrow h = 2 \text{ см} \]

3. Найдём площадь боковой грани:

   • Боковые грани пирамиды являются треугольниками с основанием 4 см и высотой \( h = 2 \) см.
   • Площадь одного треугольника (боковой грани) рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ см}^2 \]
   • Учитывая, что у пирамиды 4 такие боковые грани, общая площадь боковых граней: \[ S_{\text{боковых граней}} = 4 \times S_{\text{треугольника}} = 4 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \]

4. Найдём площадь основания:

   • Площадь квадрата (основания) рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{основания}} = \text{сторона}^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2 \]

5. Подсчитаем полную площадь поверхности пирамиды:

   • Полная площадь поверхности (S) состоит из площади основания и суммы площадей боковых граней: \[ S = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}} = 16 + 16 = 32 \text{ см}^2 \]

Итак, полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 32 см².