Дана правильная четырехугольная пирамида. сторона основания 4 см, двугранный угол при стороне основания 45°. найти площадь полной поверхности пирамиды

Для решения задачи о правильной четырехугольной пирамиде с заданными параметрами, давайте пошагово разберемся, как найти площадь полной поверхности пирамиды. 1. **Определим элементы пирамиды:** - Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. - Сторона квадрата (основания) равна 4 см. - Двугранный угол при боковой грани равен 45°. 2. **Найдём высоту боковой грани (генератор):** - Двугранный угол при стороне основания 45° означает, что если опустить перпендикуляр из верхней вершины пирамиды до центра квадрата, этот перпендикуляр будет составлять 45° с боковой гранью. - Так как основание пирамиды представляет собой квадрат, центр квадрата (основания) будет находиться на расстоянии \( \frac{4}{2} = 2 \) см от любой его стороны, так как сторона основания равна 4 см. - Теперь, используя свойства прямоугольного треугольника, где одна сторона равна 2 см (половина стороны квадрата), а угол равен 45°, можем найти высоту боковой грани: - Если высота отмечаемого перпендикуляра обозначена как \( h \), тогда: \[ \tan(45°) = \frac{h}{2} \] \[ 1 = \frac{h}{2} \Rightarrow h = 2 \text{ см} \] 3. **Найдём площадь боковой грани:** - Боковые грани пирамиды являются треугольниками с основанием 4 см и высотой \( h = 2 \) см. - Площадь одного треугольника (боковой грани) рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ см}^2 \] - Учитывая, что у пирамиды 4 такие боковые грани, общая площадь боковых граней: \[ S_{\text{боковых граней}} = 4 \times S_{\text{треугольника}} = 4 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \] 4. **Найдём площадь основания:** - Площадь квадрата (основания) рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{основания}} = \text{сторона}^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2 \] 5. **Подсчитаем полную площадь поверхности пирамиды:** - Полная площадь поверхности (S) состоит из площади основания и суммы площадей боковых граней: \[ S = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}} = 16 + 16 = 32 \text{ см}^2 \] Итак, полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет **32 см².**