Для нахождения первообразной функции ( f(x) = 3x^2 - 2x ) и определения константы интегрирования, воспользуемся следующими шагами:
Шаг 1: Находим первообразную
Первообразную функции ( f(x) = 3x^2 - 2x ) можно найти, используя правила интегрирования. В общем виде, первообразная функции ( ax^n ) равна ( \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C ), где ( C ) — это константа интегрирования.
Применяем это правило:
Для первого слагаемого ( 3x^2 ):
[
\int 3x^2 , dx = 3 \cdot \frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1} = 3 \cdot \frac{1}{3} x^3 = x^3
]
Для второго слагаемого ( -2x ):
[
\int -2x , dx = -2 \cdot \frac{1}{1 + 1} x^{1 + 1} = -2 \cdot \frac{1}{2} x^2 = -x^2
]
Это значит, что первообразная ( F(x) ) будет равна:
[
F(x) = x^3 - x^2 + C
]
Шаг 2: Используем координаты точки
Теперь известно, что функция ( f(x) ) пересекает координаты точки ( m(1, 4) ). Это означает, что при ( x = 1 ), значение первообразной ( F(x) ) равно 4:
[
F(1) = 4
]
Подставим ( x = 1 ) в выражение для ( F(x) ):
[
F(1) = 1^3 - 1^2 + C = 1 - 1 + C = C
]
Теперь мы знаем, что:
[
C = 4
]
Шаг 3: Итоговое значение первообразной
Подставим найденное значение ( C ) обратно в выражение для первообразной:
[
F(x) = x^3 - x^2 + 4
]
Ответ
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 3x^2 - 2x ) с учётом заданной точки равна:
[
F(x) = x^3 - x^2 + 4
]
