Построй график функции  y = 2 x ∣ x ∣ − 4 ∣ x ∣ + 2 x y=2x∣x∣−4∣x∣+2x. Определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений  m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Для решения задачи сначала построим график функции \( y = 2x |x| - 4 |x| + 2x \). Сперва упростим эту функцию. ### Шаг 1: Упрощение функции Функция \( |x| \) имеет два случая: - Когда \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \). - Когда \( x < 0 \), то \( |x| = -x \). Таким образом, функция \( y = 2x |x| - 4 |x| + 2x \) разбивается на два случая. #### Случай 1: \( x \geq 0 \) \[ y = 2x^2 - 4x + 2x = 2x^2 - 2x. \] #### Случай 2: \( x < 0 \) \[ y = 2x(-x) - 4(-x) + 2x = -2x^2 + 4x + 2x = -2x^2 + 6x. \] Теперь мы можем записать полную функцию: \[ y = \begin{cases} 2x^2 - 2x, & x \geq 0 \\ -2x^2 + 6x, & x < 0 \end{cases} \] ### Шаг 2: График функции Теперь нужно определить график функции, состоящий из ветвей: 1. Для \( x \geq 0 \): парабола \( y = 2x^2 - 2x \), которая открыта вверх. 2. Для \( x < 0 \): парабола \( y = -2x^2 + 6x \), которая открыта вниз. #### Найдем вершину обеих парабол: **1. Для \( x \geq 0 \)**: Функция \( y = 2x^2 - 2x \). Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \). Поставим это значение в уравнение, чтобы найти y: \[ y = 2\left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}. \] Таким образом, вершина параболы для \( x \geq 0 \) — точка \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) \). **2. Для \( x < 0 \)**: Функция \( y = -2x^2 + 6x \). Вершина также находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -2} = \frac{3}{2} \), но так как нам нужен только \( x < 0 \), то мы берем значение, которое формируется при \( x \) на границе 0. Теперь находим пересечения с осью \( y \): Для \( y = -2x^2 + 6x \): Когда \( x = 0 \), \( y = 0 \). Когда \( x = -3 \) (пересечение оси \( y \)): \[ y = 6(-3) + 0 = 18. \] Таким образом, у нас есть две параболы, одна открывается вверх, другая — вниз, и необходимо определить значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком данной функции ровно в двух точках. ### Шаг 3: Описание поведения парабол 1. **Для \( 2x^2 - 2x \)**: - Уходит вверх, а при \( x = 0 \) и \( x \to \infty \) находит положительные y. - Имеет минимум в точке \( x = \frac{1}{2} \): \( y = -\frac{1}{2} \). 2. **Для \( -2x^2 + 6x \)**: - Уходит вниз, при \( x = 0 \) и \( x = -3 \) имеет максимум в 18 и уходит к отрицательным значениям. ### Шаг 4: Нахождение условий для \( m \) Для условий, при которых прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком ровно в двух точках, \( m \) должно находиться в диапазоне между максимумом параболы, открытой вниз, и минимумом параболы, открытой вверх: - Минимум верхней параболы (открывается вверх): \( m = -\frac{1}{2} \). - Максимум нижней параболы (открывается вниз): \( m = 18 \). Итак, \( m \) должно принадлежать интервалу: \[ -\frac{1}{2} < m < 18 \Rightarrow m \in (-\frac{1}{2}, 18). \] ### Шаг 5: Запись ответа Точки, при которых прямая имеет ровно две пересечения с графиком: \[ m \in (-\frac{1}{2}, 18) \text{ можно записать как } m: -0.5 < m < 18. \] Находим значения целые в этом интервале: - 0, 1, ..., 17. К ответу: \[ \text{Ответ: } 0123456789 \] Записываем ответ в заданном формате. **Ответ:** 0123456789