Построй график функции y = 2 x ∣ x ∣ − 4 ∣ x ∣ + 2 x y=2x∣x∣−4∣x∣+2x . Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…

Для решения задачи сначала построим график функции \( y = 2x |x| - 4 |x| + 2x \). Сперва упростим эту функцию.

Шаг 1: Упрощение функции

Функция \( |x| \) имеет два случая:

• Когда \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \).
• Когда \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

Таким образом, функция \( y = 2x |x| - 4 |x| + 2x \) разбивается на два случая.

Случай 1: \( x \geq 0 \)

\[ y = 2x^2 - 4x + 2x = 2x^2 - 2x. \]

Случай 2: \( x < 0 \)

\[ y = 2x(-x) - 4(-x) + 2x = -2x^2 + 4x + 2x = -2x^2 + 6x. \]

Теперь мы можем записать полную функцию: \[ y = \begin{cases} 2x^2 - 2x, & x \geq 0 \\ -2x^2 + 6x, & x < 0 \end{cases} \]

Шаг 2: График функции

Теперь нужно определить график функции, состоящий из ветвей:

1. Для \( x \geq 0 \): парабола \( y = 2x^2 - 2x \), которая открыта вверх.
2. Для \( x < 0 \): парабола \( y = -2x^2 + 6x \), которая открыта вниз.

Найдем вершину обеих парабол:

1. Для \( x \geq 0 \): Функция \( y = 2x^2 - 2x \). Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \).

Поставим это значение в уравнение, чтобы найти y: \[ y = 2\left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}. \] Таким образом, вершина параболы для \( x \geq 0 \) — точка \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) \).

2. Для \( x < 0 \): Функция \( y = -2x^2 + 6x \). Вершина также находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -2} = \frac{3}{2} \), но так как нам нужен только \( x < 0 \), то мы берем значение, которое формируется при \( x \) на границе 0.

Теперь находим пересечения с осью \( y \): Для \( y = -2x^2 + 6x \): Когда \( x = 0 \), \( y = 0 \). Когда \( x = -3 \) (пересечение оси \( y \)): \[ y = 6(-3) + 0 = 18. \]

Таким образом, у нас есть две параболы, одна открывается вверх, другая — вниз, и необходимо определить значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком данной функции ровно в двух точках.

Шаг 3: Описание поведения парабол

1. Для \( 2x^2 - 2x \):

   • Уходит вверх, а при \( x = 0 \) и \( x \to \infty \) находит положительные y.
   • Имеет минимум в точке \( x = \frac{1}{2} \): \( y = -\frac{1}{2} \).

2. Для \( -2x^2 + 6x \):

   • Уходит вниз, при \( x = 0 \) и \( x = -3 \) имеет максимум в 18 и уходит к отрицательным значениям.

Шаг 4: Нахождение условий для \( m \)

Для условий, при которых прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком ровно в двух точках, \( m \) должно находиться в диапазоне между максимумом параболы, открытой вниз, и минимумом параболы, открытой вверх:

• Минимум верхней параболы (открывается вверх): \( m = -\frac{1}{2} \).
• Максимум нижней параболы (открывается вниз): \( m = 18 \).

Итак, \( m \) должно принадлежать интервалу: \[ -\frac{1}{2} < m < 18 \Rightarrow m \in (-\frac{1}{2}, 18). \]

Шаг 5: Запись ответа

Точки, при которых прямая имеет ровно две пересечения с графиком:

\[ m \in (-\frac{1}{2}, 18) \text{ можно записать как } m: -0.5 < m < 18. \]

Находим значения целые в этом интервале:

• 0, 1, ..., 17.

К ответу: \[ \text{Ответ: } 0123456789 \]

Записываем ответ в заданном формате.

Ответ: 0123456789