Давайте разберем каждую задачу по отдельности.
Задача 1
Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение числу 4.
Для квадратного уравнения в общем виде:
[ ax^2 + bx + c = 0 ]
Сумма корней ( S ) и произведение корней ( P ) можно выразить через коэффициенты:
- ( S = -\frac{b}{a} )
- ( P = \frac{c}{a} )
Так как нужное уравнение является приведённым (то есть ( a = 1 )), мы можем упростить формулы:
Сумма корней (S) равна 6:
[
-b = 6 \implies b = -6
]
Произведение корней (P) равно 4:
[
c = 4
]
Теперь подставим найденные значения в уравнение:
[
x^2 - 6x + 4 = 0
]
Это и есть искомое квадратное уравнение.
Задача 2
Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см².
Обозначим меньшую сторону прямоугольника как ( x ). Тогда большую сторону можно выразить как ( x + 7 ).
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
[
x(x + 7) = 44
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 7x - 44 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для начала определим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = 15
]
Находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 15}{2}
]
Рассмотрим два случая:
- ( x = \frac{8}{2} = 4 )
- ( x = \frac{-22}{2} = -11 ) (не рассматриваем, т.к. длина не может быть отрицательной)
Таким образом, меньшая сторона ( x = 4 ) см, а большая сторона:
[
x + 7 = 4 + 7 = 11 \text{ см.}
]
Ответ: стороны прямоугольника 4 см и 11 см.
Задача 3
Число -6 является корнем уравнения ( 2x^2 + bx - 6 = 0 ). Найдите второй корень уравнения и значение b.
По свойству квадратного уравнения, если одно из корней ( x_1 ) равно -6, то можно выразить другое корень через сумму и произведение:
Пусть второй корень - это ( x_2 ). Тогда:
- ( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{2} )
- ( P = x_1 \cdot x_2 = -\frac{-6}{2} = 3 )
- Подставим известные значения:
[
-6 + x_2 = -\frac{b}{2}
]
[
-6x_2 = 3 \implies x_2 = -\frac{1}{2}
]
Теперь найдем значение ( b ):
[
-6 - \frac{1}{2} = -\frac{b}{2}
]
[
-\frac{12}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{b}{2} \implies -\frac{13}{2} = -\frac{b}{2} \implies b = 13
]
Ответ: второй корень ( -\frac{1}{2} ), значение ( b = 13 ).
Задача 4
При каком значении a уравнение ( 2x^2 + 4x + a = 0 ) имеет единственный корень?
Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. У нас:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 16 - 8a
]
Для единственного корня:
[
16 - 8a = 0
]
[
8a = 16 \implies a = 2
]
Ответ: ( a = 2 ).
Задача 5
Известно, что ( x_1 ) и ( x_2 ) - корни уравнения ( x^2 - 14x + 5 = 0 ). Не решая уравнение, найдите значение выражения ( x^2 + x ).
Сначала найдем сумму и произведение корней:
- Сумма корней ( S = x_1 + x_2 = 14 )
- Произведение корней ( P = x_1 \cdot x_2 = 5 )
Теперь найдем выражение ( x^2 + x ) для корней ( x_1 ) и ( x_2 ):
[
x^2 + x = x(x + 1)
]
Используем известные значения:
[
x^2 + x = S \cdot x - P = 14x - 5
]
Чтобы получить значение, подставим вместо ( x ) одно из корней, пусть будет ( x_1 ):
[
x^2 + x = 14x_1 - 5
]
Подобным образом можно найти ( x_2 ):
[
14x_2 - 5
]
Таким образом, мы не знаем конкретные значения ( x_1 ) и ( x_2 ), но ( x^2 + x ) для обоих корней можно выразить через:
[
x^2 + x = 14x - 5
]
Хочется выразить через сумму и произведение:
Давайте взводить в квадрат сумму:
[
(x_1 + x_2)^2 = S^2 \implies 14^2 - 2P = 196 - 10 = 186
]
Выразив:
[
x^2 + x = \frac{14^2 - 2P}{2} = \frac{186}{2} = 93
]
Ответ: ( x^2 + x = 93 ).
Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
