Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение числу 4. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите сторо ны…

Давайте разберем каждую задачу по отдельности.

Задача 1

Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение числу 4.

Для квадратного уравнения в общем виде: \[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Сумма корней \( S \) и произведение корней \( P \) можно выразить через коэффициенты:

• \( S = -\frac{b}{a} \)
• \( P = \frac{c}{a} \)

Так как нужное уравнение является приведённым (то есть \( a = 1 \)), мы можем упростить формулы:

• \( S = -b \)
• \( P = c \)

1. Сумма корней (S) равна 6: \[ -b = 6 \implies b = -6 \]

2. Произведение корней (P) равно 4: \[ c = 4 \]

Теперь подставим найденные значения в уравнение: \[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]

Это и есть искомое квадратное уравнение.

---

Задача 2

Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см².

Обозначим меньшую сторону прямоугольника как \( x \). Тогда большую сторону можно выразить как \( x + 7 \).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \[ x(x + 7) = 44 \]

Раскроем скобки: \[ x^2 + 7x - 44 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для начала определим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 \]

Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = 15 \]

Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 15}{2} \]

Рассмотрим два случая:

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{-22}{2} = -11 \) (не рассматриваем, т.к. длина не может быть отрицательной)

Таким образом, меньшая сторона \( x = 4 \) см, а большая сторона: \[ x + 7 = 4 + 7 = 11 \text{ см.} \]

Ответ: стороны прямоугольника 4 см и 11 см.

---

Задача 3

Число -6 является корнем уравнения \( 2x^2 + bx - 6 = 0 \). Найдите второй корень уравнения и значение b.

По свойству квадратного уравнения, если одно из корней \( x_1 \) равно -6, то можно выразить другое корень через сумму и произведение:

Пусть второй корень - это \( x_2 \). Тогда:

• \( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{2} \)
• \( P = x_1 \cdot x_2 = -\frac{-6}{2} = 3 \)

1. Подставим известные значения: \[ -6 + x_2 = -\frac{b}{2} \] \[ -6x_2 = 3 \implies x_2 = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдем значение \( b \): \[ -6 - \frac{1}{2} = -\frac{b}{2} \] \[ -\frac{12}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{b}{2} \implies -\frac{13}{2} = -\frac{b}{2} \implies b = 13 \]

Ответ: второй корень \( -\frac{1}{2} \), значение \( b = 13 \).

---

Задача 4

При каком значении a уравнение \( 2x^2 + 4x + a = 0 \) имеет единственный корень?

Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. У нас: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 16 - 8a \]

Для единственного корня: \[ 16 - 8a = 0 \] \[ 8a = 16 \implies a = 2 \]

Ответ: \( a = 2 \).

---

Задача 5

Известно, что \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни уравнения \( x^2 - 14x + 5 = 0 \). Не решая уравнение, найдите значение выражения \( x^2 + x \).

Сначала найдем сумму и произведение корней:

• Сумма корней \( S = x_1 + x_2 = 14 \)
• Произведение корней \( P = x_1 \cdot x_2 = 5 \)

Теперь найдем выражение \( x^2 + x \) для корней \( x_1 \) и \( x_2 \): \[ x^2 + x = x(x + 1) \]

Используем известные значения: \[ x^2 + x = S \cdot x - P = 14x - 5 \]

Чтобы получить значение, подставим вместо \( x \) одно из корней, пусть будет \( x_1 \): \[ x^2 + x = 14x_1 - 5 \]

Подобным образом можно найти \( x_2 \): \[ 14x_2 - 5 \]

Таким образом, мы не знаем конкретные значения \( x_1 \) и \( x_2 \), но \( x^2 + x \) для обоих корней можно выразить через: \[ x^2 + x = 14x - 5 \]

Хочется выразить через сумму и произведение: Давайте взводить в квадрат сумму: \[ (x_1 + x_2)^2 = S^2 \implies 14^2 - 2P = 196 - 10 = 186 \]

Выразив: \[ x^2 + x = \frac{14^2 - 2P}{2} = \frac{186}{2} = 93 \]

Ответ: \( x^2 + x = 93 \).

---

Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!