Давайте поочередно решим каждую из предложенных задач.
1. Решите методом подстановки систему уравнений:
[
\begin{cases}
2x + y = 3 \
3x + 2y = 2
\end{cases}
]
Шаг 1: Выражаем (y) из первого уравнения:
[
y = 3 - 2x
]
Шаг 2: Подставляем (y) во второе уравнение:
[
3x + 2(3 - 2x) = 2
]
Упрощаем:
[
3x + 6 - 4x = 2 \
-x + 6 = 2 \
-x = 2 - 6 \
-x = -4 \
x = 4
]
Шаг 3: Подставляем (x) обратно в уравнение для (y):
[
y = 3 - 2(4) = 3 - 8 = -5
]
Ответ: (x = 4), (y = -5).
2. Решите методом сложения систему уравнений:
[
\begin{cases}
4x + 5y = 2 \
3x - 5y = 19
\end{cases}
]
Шаг 1: Складываем оба уравнения:
[
4x + 5y + 3x - 5y = 2 + 19
]
Упрощаем:
[
7x = 21 \
x = 3
]
Шаг 2: Подставляем (x) во одно из уравнений для нахождения (y):
[
4(3) + 5y = 2 \
12 + 5y = 2 \
5y = 2 - 12 \
5y = -10 \
y = -2
]
Ответ: (x = 3), (y = -2).
3. Решите графически систему уравнений:
[
\begin{cases}
x + y = 4 \
x - 2y = -2
\end{cases}
]
Шаг 1: Преобразим уравнения для графического решения.
Первое уравнение:
[
y = 4 - x
]
Второе уравнение:
[
x - 2y = -2 \
-2y = -2 - x \
y = \frac{x + 2}{2}
]
Шаг 2: Построим графики уравнений (поверхность функций):
- (y = 4 - x) (сходится в точки (0, 4) и (4, 0))
- (y = \frac{x + 2}{2}) (сходится в точки (-2, 0) и (0, 1))
Шаг 3: Пересечение графиков даст решение. Найдем его алгебраически:
Подставим (y = 4 - x) во второе уравнение.
[
x - 2(4 - x) = -2 \
x - 8 + 2x = -2 \
3x - 8 = -2 \
3x = 6 \
x = 2
]
Теперь (y = 4 - 2 = 2).
Ответ: Пересечение при (x = 2), (y = 2).
4. За 8 тетрадей и 5 ручек заплатили 171 р. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит ручка, если 3 тетради дороже ручки на 21 р.?
Шаг 1: Обозначим цену тетради как (t) и ручки как (r).
Запишем систему уравнений:
[
\begin{cases}
8t + 5r = 171 \
3t = r + 21
\end{cases}
]
Шаг 2: Из второго уравнения выразим (r):
[
r = 3t - 21
]
Шаг 3: Подставляем (r) в первое уравнение:
[
8t + 5(3t - 21) = 171 \
8t + 15t - 105 = 171 \
23t - 105 = 171 \
23t = 171 + 105 \
23t = 276 \
t = 12
]
Шаг 4: Подставляем (t) обратно в уравнение для (r):
[
r = 3(12) - 21 = 36 - 21 = 15
]
Ответ: Тетрадь стоит 12 р., ручка стоит 15 р.
5. Решите систему уравнений:
[
\begin{cases}
7x - 3y = -5 \
3x + 4y = -18
\end{cases}
]
Шаг 1: Из первого уравнения выразим (y):
[
7x + 5 = 3y \
y = \frac{7x + 5}{3}
]
Шаг 2: Подставляем (y) во второе уравнение:
[
3x + 4\left(\frac{7x + 5}{3}\right) = -18
]
Умножим на 3 для избавления от дроби:
[
9x + 4(7x + 5) = -54 \
9x + 28x + 20 = -54 \
37x + 20 = -54 \
37x = -74 \
x = -2
]
Шаг 3: Подставляем (x) обратно для нахождения (y):
[
7(-2) - 3y = -5 \
-14 - 3y = -5 \
-3y = -5 + 14 \
-3y = 9 \
y = -3
]
Ответ: (x = -2), (y = -3).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, дайте знать!
