При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель…

Для решения данной задачи мы будем использовать понятие вероятности и сформулируем математическую модель, описывающую ситуацию с выстрелами по цели.

Дано:

• Вероятность уничтожения цели при первом выстреле (P1) = 0,4.
• Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле (P2) = 0,5.
• Мы хотим узнать, сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9.

Шаг 1: Определение вероятности неуничтожения

Сначала найдем вероятность того, что цель не будет уничтожена за определенное количество выстрелов. Вероятность неуничтожения при первом выстреле: \[ P(\text{не уничтожена в 1-й выстрел}) = 1 - P1 = 1 - 0,4 = 0,6. \]

При каждом следующем выстреле вероятность неуничтожения будет равна: \[ P(\text{не уничтожена в последующих выстрелах}) = 1 - P2 = 1 - 0,5 = 0,5. \]

Шаг 2: Построение формулы для вероятности неуничтожения

Теперь мы можем выразить вероятность неуничтожения цели после \( n \) выстрелов. В общем случае, если первый выстрел неудачен, то последующие должны быть успешными или снова неудачными. Поэтому вероятность неуничтожения после \( n \) выстрелов (где \( n \) > 1) можно записать, учитывая, что первый выстрел неудачен, а затем \( n-1 \) выстрелов могут быть как уничтожениями, так и неуничтожениями.

Обозначим вероятность уничтожения после \( n \) выстрелов как \( P(\text{уничтожена за } n \text{ выстрелов}) \).

Вероятность неуничтожения за \( n \) выстрелов, если первый выстрел неудачен:

• Вероятность неуничтожения после первого выстрела: 0,6.
• Вероятность неуничтожения в последующих \( n-1 \) выстрелах: \( (0,5)^{n-1} \).

Теперь общая вероятность неуничтожения будет: \[ P(\text{не уничтожена}) = 0,6 \times (0,5)^{n-1}. \]

Шаг 3: Вероятность уничтожения

Следовательно, вероятность уничтожения за \( n \) выстрелов: \[ P(\text{уничтожена}) = 1 - P(\text{не уничтожена}) = 1 - [0,6 \times (0,5)^{n-1}]. \]

Шаг 4: Условие задачи

Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0,9: \[ 1 - [0,6 \times (0,5)^{n-1}] \geq 0,9. \]

Перепишем это неравенство: \[ 0,6 \times (0,5)^{n-1} \leq 0,1. \]

Шаг 5: Решим неравенство

Решим неравенство для \( n \): \[ (0,5)^{n-1} \leq \frac{0,1}{0,6} \] \[ (0,5)^{n-1} \leq \frac{1}{6}. \]

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон для удобства решения: \[ \log((0,5)^{n-1}) \leq \log\left(\frac{1}{6}\right). \]

Используя свойства логарифмов, получаем: \[ (n-1) \log(0,5) \leq \log\left(\frac{1}{6}\right). \]

Так как \( \log(0,5) < 0 \), мы можем изменить знак неравенства: \[ n-1 \geq \frac{\log\left(\frac{1}{6}\right)}{\log(0,5)}. \]

Теперь найдем это значение, вычисляя логарифмы. Используя логарифмы по основанию 10:

• \( \log\left(\frac{1}{6}\right) \approx -0,7781 \).
• \( \log(0,5) \approx -0,3010 \).

Подставляя в неравенство: \[ n-1 \geq \frac{-0,7781}{-0,3010} \approx 2,58. \]

Следовательно, \[ n \geq 3,58. \]

Шаг 6: Округляем \( n \)

Поскольку \( n \) должно быть целым, минимальное значение \( n \): \[ n = 4. \]

Ответ

Таким образом, для того чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9, потребуется 4 выстрела.