Реши неравенство 4 x 2 − 18 x < 0

Давайте решим неравенство \(4x^2 - 18x < 0\) и разберём процесс пошагово. ### Шаг 1: Приведем неравенство к стандартной форме Неравенство уже в нужной форме, но мы можем упростить его, разделив все члены на 2: \[ 2x^2 - 9x < 0 \] ### Шаг 2: Найдем корни соответствующего уравнения Чтобы решить неравенство, найдем корни уравнения \(2x^2 - 9x = 0\). Для этого вынесем общий множитель: \[ x(2x - 9) = 0 \] Теперь приравниваем каждый множитель к нулю: 1. \(x = 0\) 2. \(2x - 9 = 0 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2} = 4.5\) Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 4.5\). ### Шаг 3: Определим интервалы У нас есть два корня, которые разбивают числовую прямую на три интервала: 1. \( (-\infty, 0) \) 2. \( (0, 4.5) \) 3. \( (4.5, +\infty) \) ### Шаг 4: Проверим знак на каждом интервале Теперь мы проверим, где выражение \(2x^2 - 9x\) меньше нуля, подставив тестовые точки из каждого из интервалов. 1. **Интервал** \( (-\infty, 0) \): возьмем тестовую точку \(x = -1\) \[ 2(-1)^2 - 9(-1) = 2 \cdot 1 + 9 = 11 > 0 \] 2. **Интервал** \( (0, 4.5) \): возьмем тестовую точку \(x = 1\) \[ 2(1)^2 - 9(1) = 2 - 9 = -7 < 0 \] 3. **Интервал** \( (4.5, +\infty) \): возьмем тестовую точку \(x = 5\) \[ 2(5)^2 - 9(5) = 2 \cdot 25 - 45 = 50 - 45 = 5 > 0 \] ### Шаг 5: Запишем решение Из проверок видно, что: - На интервале \( (-\infty, 0) \) - выражение больше нуля. - На интервале \( (0, 4.5) \) - выражение меньше нуля (это то, что нас интересует). - На интервале \( (4.5, +\infty) \) - выражение больше нуля. Точка, где \(x = 0\) и \(x = 4.5\) не включается, так как неравенство строгое (\(<\)). Таким образом, решение неравенства \(4x^2 - 18x < 0\): \[ x \in (0, 4.5) \] ### Итог Неравенство \(4x^2 - 18x < 0\) имеет решение в интервале \( (0, 4.5) \).