Реши неравенство 4 x 2 − 18 x < 0

Давайте решим неравенство \(4x^2 - 18x < 0\) и разберём процесс пошагово.

Шаг 1: Приведем неравенство к стандартной форме

Неравенство уже в нужной форме, но мы можем упростить его, разделив все члены на 2:

\[ 2x^2 - 9x < 0 \]

Шаг 2: Найдем корни соответствующего уравнения

Чтобы решить неравенство, найдем корни уравнения \(2x^2 - 9x = 0\). Для этого вынесем общий множитель:

\[ x(2x - 9) = 0 \]

Теперь приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \(x = 0\)
2. \(2x - 9 = 0 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2} = 4.5\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 4.5\).

Шаг 3: Определим интервалы

У нас есть два корня, которые разбивают числовую прямую на три интервала:

1. \( (-\infty, 0) \)
2. \( (0, 4.5) \)
3. \( (4.5, +\infty) \)

Шаг 4: Проверим знак на каждом интервале

Теперь мы проверим, где выражение \(2x^2 - 9x\) меньше нуля, подставив тестовые точки из каждого из интервалов.

1. Интервал \( (-\infty, 0) \): возьмем тестовую точку \(x = -1\) \[ 2(-1)^2 - 9(-1) = 2 \cdot 1 + 9 = 11 > 0 \]

2. Интервал \( (0, 4.5) \): возьмем тестовую точку \(x = 1\) \[ 2(1)^2 - 9(1) = 2 - 9 = -7 < 0 \]

3. Интервал \( (4.5, +\infty) \): возьмем тестовую точку \(x = 5\) \[ 2(5)^2 - 9(5) = 2 \cdot 25 - 45 = 50 - 45 = 5 > 0 \]

Шаг 5: Запишем решение

Из проверок видно, что:

• На интервале \( (-\infty, 0) \) - выражение больше нуля.
• На интервале \( (0, 4.5) \) - выражение меньше нуля (это то, что нас интересует).
• На интервале \( (4.5, +\infty) \) - выражение больше нуля.

Точка, где \(x = 0\) и \(x = 4.5\) не включается, так как неравенство строгое (\(<\)).

Таким образом, решение неравенства \(4x^2 - 18x < 0\):

\[ x \in (0, 4.5) \]

Итог

Неравенство \(4x^2 - 18x < 0\) имеет решение в интервале \( (0, 4.5) \).