При некотором значении p квадратные уравнения x²+(p-1)x-(p+2)=0 и x²+(p+2)x+2p-1=0 имеют общий корень. Тогда 6×p равно
Чтобы определить значение \( p \), при котором два квадратных уравнения имеют общий корень, начнем с записи уравнений:
- \( x^2 + (p-1)x - (p+2) = 0 \)
- \( x^2 + (p+2)x + (2p-1) = 0 \)
Обозначим общий корень как \( x_0 \). Подставим \( x_0 \) в оба уравнения и получим две системы:
- \( x_0^2 + (p-1)x_0 - (p+2) = 0 \) (1)
- \( x_0^2 + (p+2)x_0 + (2p-1) = 0 \) (2)
Теперь из уравнений (1) и (2) можем выразить \( x_0^2 \):
Из (1): \[ x_0^2 = (p+2) - (p-1)x_0 \]
Из (2): \[ x_0^2 = -(p+2)x_0 - (2p-1) \]
Приведем уравнения к одному виду, приравняем их. Это дает нам:
\[ (p+2) - (p-1)x_0 = -(p+2)x_0 - (2p-1) \]
Приведем все к одной стороне: \[ (p+2) + (2p-1) = -(p-1)x_0 - (p+2)x_0 \] \[ (p+2 + 2p - 1) = -(2p - 1)x_0 \] \[ 3p + 1 = -(2p - 1)x_0 \] Теперь выразим \( x_0 \): \[ x_0 = -\frac{3p + 1}{2p - 1} \]
Теперь подставим значение \( x_0 \) обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти \( p \). Подставим в первое уравнение:
\[ \left(-\frac{3p + 1}{2p - 1}\right)^2 + (p-1)\left(-\frac{3p + 1}{2p - 1}\right) - (p + 2) = 0 \]
Однако, чтобы упростить задачу, попытаемся найти условие, при котором дискриминанты равны:
Дискриминанты уравнений:
- \( D_1 = (p - 1)^2 + 4(p + 2) = p^2 - 2p + 1 + 4p + 8 = p^2 + 2p + 9 \)
- \( D_2 = (p + 2)^2 - 4(2p - 1) = p^2 + 4p + 4 - 8p + 4 = p^2 - 4p + 8 \)
Приравняем дискриминанты:
\[ p^2 + 2p + 9 = p^2 - 4p + 8 \] Упрощаем:
\[ 2p + 4p + 9 - 8 = 0 \Rightarrow 6p + 1 = 0 \Rightarrow 6p = -1 \Rightarrow p = -\frac{1}{6} \]
Теперь мы можем найти значение \( 6 \times p \):
\[ 6p = 6 \times -\frac{1}{6} = -1 \]
Ответ: \( 6 \times p = -1 \).
