Чтобы определить значение ( p ), при котором два квадратных уравнения имеют общий корень, начнем с записи уравнений:
- ( x^2 + (p-1)x - (p+2) = 0 )
- ( x^2 + (p+2)x + (2p-1) = 0 )
Обозначим общий корень как ( x_0 ). Подставим ( x_0 ) в оба уравнения и получим две системы:
- ( x_0^2 + (p-1)x_0 - (p+2) = 0 ) (1)
- ( x_0^2 + (p+2)x_0 + (2p-1) = 0 ) (2)
Теперь из уравнений (1) и (2) можем выразить ( x_0^2 ):
Из (1):
[
x_0^2 = (p+2) - (p-1)x_0
]
Из (2):
[
x_0^2 = -(p+2)x_0 - (2p-1)
]
Приведем уравнения к одному виду, приравняем их. Это дает нам:
[
(p+2) - (p-1)x_0 = -(p+2)x_0 - (2p-1)
]
Приведем все к одной стороне:
[
(p+2) + (2p-1) = -(p-1)x_0 - (p+2)x_0
]
[
(p+2 + 2p - 1) = -(2p - 1)x_0
]
[
3p + 1 = -(2p - 1)x_0
]
Теперь выразим ( x_0 ):
[
x_0 = -\frac{3p + 1}{2p - 1}
]
Теперь подставим значение ( x_0 ) обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти ( p ). Подставим в первое уравнение:
[
\left(-\frac{3p + 1}{2p - 1}\right)^2 + (p-1)\left(-\frac{3p + 1}{2p - 1}\right) - (p + 2) = 0
]
Однако, чтобы упростить задачу, попытаемся найти условие, при котором дискриминанты равны:
Дискриминанты уравнений:
- ( D_1 = (p - 1)^2 + 4(p + 2) = p^2 - 2p + 1 + 4p + 8 = p^2 + 2p + 9 )
- ( D_2 = (p + 2)^2 - 4(2p - 1) = p^2 + 4p + 4 - 8p + 4 = p^2 - 4p + 8 )
Приравняем дискриминанты:
[
p^2 + 2p + 9 = p^2 - 4p + 8
]
Упрощаем:
[
2p + 4p + 9 - 8 = 0 \Rightarrow 6p + 1 = 0 \Rightarrow 6p = -1 \Rightarrow p = -\frac{1}{6}
]
Теперь мы можем найти значение ( 6 \times p ):
[
6p = 6 \times -\frac{1}{6} = -1
]
Ответ: ( 6 \times p = -1 ).
