1. Начертите окружности, заданные уравнениями: а) (х – 2)2 + (у + 3)2 = 9 б) х 2 + (у – 2)2 = 4 в) х 2 + у 2 = 25 2. Как расположены точки А(1; -2), В(4; 6) относительно…

Давайте разберем каждую часть задачи по отдельности.

1. Начертите окружности, заданные уравнениями:

а) Уравнение: \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9\)

Это уравнение окружности в стандартной форме, где:

• Центр окружности \((h, k) = (2, -3)\)
• Радиус \(r = \sqrt{9} = 3\)

Графические параметры:

• Начертите систему координат.
• Отметьте точку центра в точке (2, -3).
• С помощью циркуля отложите радиус в 3 единицы во всех направлениях от центра, чтобы получить окружность.

б) Уравнение: \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\)

Здесь также окружность:

• Центр \((h, k) = (0, 2)\) (так как \(x^2\) означает \(h=0\))
• Радиус \(r = \sqrt{4} = 2\)

Графические параметры:

• Центр находится в точке (0, 2).
• Начертите окружность с радиусом 2 от этой точки.

в) Уравнение: \(x^2 + y^2 = 25\)

Это окружность с центром в начале координат:

• Центр \((h, k) = (0, 0)\)
• Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\)

Графические параметры:

• Центр (0, 0).
• Начертите окружность с радиусом 5.

2. Как расположены точки A(1; -2) и B(4; 6) относительно окружности \((x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 25\)?

1. Центр окружности \((h, k) = (4, 1)\), радиус \(r = \sqrt{25} = 5\).

2. Найдем расстояние от точки до центра окружности с помощью формулы: \[ d = \sqrt{(x_A - h)^2 + (y_A - k)^2} \] Для точки A(1, -2): \[ d_A = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4.24 \] Радиус 5 > 4.24, значит точка A находится внутри окружности.

   Для точки B(4, 6): \[ d_B = \sqrt{(4 - 4)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5 \] Радиус 5 = 5, значит точка B находится на границе окружности.

3. Напишите уравнение окружности с центром в точке C(-5; 2), радиусом 4 ед.

Используйте стандартную форму: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] где \((h, k) = (-5, 2)\), \(r = 4\): \[ (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 4^2 \] или \[ (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16 \]

4. Напишите уравнение окружности с центром в точке B(3; -2), проходящей через точку A(-1; -4).

1. Сначала найдем радиус, используя расстояние между точками B и A. \[ r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-2 + 4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \]
2. Пишем уравнение: \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2 = 20 \]

5. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если M(-2; 1), N(4; -5).

1. Центр окружности находится в середине отрезка MN: \[ C\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 - 5}{2}\right) = C(1, -2) \]
2. Длина диаметра: \[ d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Таким образом, радиус \(r = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}\).
3. Уравнение окружности: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \]

Таким образом, для каждой части задачи мы нашли уравнения окружностей и их геометрические свойства. Если вам нужно больше объяснений по какой-либо из частей, дайте знать!