1. Начертите окружности, заданные уравнениями:
а) (х – 2)2 + (у + 3)2 = 9
б) х
2 + (у – 2)2 = 4
в) х
2 + у
2 = 25
2. Как расположены точки А(1; -2), В(4; 6) относительно
окружности (х – 4)2 + (у – 1)2 = 25.
3. Напишите уравнение окружности с центром в точке
С(-5; 2), радиусом 4 ед.
4. Напишите уравнение окружности с центром в точке
В(3; -2), проходящей через точку А(-1; -4)
5. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если
М(-2; 1), N(4; -5).
Давайте разберем каждую часть задачи по отдельности.
### 1. Начертите окружности, заданные уравнениями:
**а)** Уравнение: \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9\)
Это уравнение окружности в стандартной форме, где:
- Центр окружности \((h, k) = (2, -3)\)
- Радиус \(r = \sqrt{9} = 3\)
**Графические параметры**:
- Начертите систему координат.
- Отметьте точку центра в точке (2, -3).
- С помощью циркуля отложите радиус в 3 единицы во всех направлениях от центра, чтобы получить окружность.
---
**б)** Уравнение: \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\)
Здесь также окружность:
- Центр \((h, k) = (0, 2)\) (так как \(x^2\) означает \(h=0\))
- Радиус \(r = \sqrt{4} = 2\)
**Графические параметры**:
- Центр находится в точке (0, 2).
- Начертите окружность с радиусом 2 от этой точки.
---
**в)** Уравнение: \(x^2 + y^2 = 25\)
Это окружность с центром в начале координат:
- Центр \((h, k) = (0, 0)\)
- Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\)
**Графические параметры**:
- Центр (0, 0).
- Начертите окружность с радиусом 5.
---
### 2. Как расположены точки A(1; -2) и B(4; 6) относительно окружности \((x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 25\)?
1. Центр окружности \((h, k) = (4, 1)\), радиус \(r = \sqrt{25} = 5\).
2. Найдем расстояние от точки до центра окружности с помощью формулы:
\[
d = \sqrt{(x_A - h)^2 + (y_A - k)^2}
\]
Для точки A(1, -2):
\[
d_A = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4.24
\]
Радиус 5 > 4.24, значит точка A находится **внутри** окружности.
Для точки B(4, 6):
\[
d_B = \sqrt{(4 - 4)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5
\]
Радиус 5 = 5, значит точка B находится **на границе** окружности.
---
### 3. Напишите уравнение окружности с центром в точке C(-5; 2), радиусом 4 ед.
Используйте стандартную форму:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
где \((h, k) = (-5, 2)\), \(r = 4\):
\[
(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 4^2
\]
или
\[
(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16
\]
---
### 4. Напишите уравнение окружности с центром в точке B(3; -2), проходящей через точку A(-1; -4).
1. Сначала найдем радиус, используя расстояние между точками B и A.
\[
r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-2 + 4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
\]
2. Пишем уравнение:
\[
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2 = 20
\]
---
### 5. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если M(-2; 1), N(4; -5).
1. Центр окружности находится в середине отрезка MN:
\[
C\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 - 5}{2}\right) = C(1, -2)
\]
2. Длина диаметра:
\[
d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
\]
Таким образом, радиус \(r = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}\).
3. Уравнение окружности:
\[
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18
\]
---
Таким образом, для каждой части задачи мы нашли уравнения окружностей и их геометрические свойства. Если вам нужно больше объяснений по какой-либо из частей, дайте знать!
