К В прямоутольнике ABCD из вершин В и D опущены перпендикуляры на диагональ AC. Эти перпендикуляры пересекают диагональ в точках P и Q соответственно. Если AP = 2, PQ=6, то площадь прямоугольника равна

Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольника и данные условия. Рассмотрим действия пошагово: 1. **Понимание условия:** - В прямоугольнике ABCD из вершин B и D опущены перпендикуляры на диагональ AC, которые пересекают ее в точках P и Q. - Даны отрезки AP = 2 и PQ = 6. 2. **Анализ геометрии:** - Поскольку точки P и Q лежат на одной диагонали и образованы перпендикулярами из противоположных углов прямоугольника, BP и DQ являются высотами соответствующих треугольников в прямоугольнике. 3. **Использование свойств диагоналей и перпендикуляров:** - В прямоугольнике диагонали равны, поэтому можно утверждать, что треугольники ABP и DPQ подобны треугольникам DQC и CQA. 4. **Вычисление длины диагонали AC:** - Из условия AP + PQ = AQ, поэтому AQ = 2 + 6 = 8, а значит, AQ = QC = 8. - Таким образом, вся диагональ AC = AP + PQ + QC = 2 + 6 + 8 = 16. 5. **Вычисление площади прямоугольника:** - Предположим, что прямоугольник имеет стороны a и b, тогда диагональ AC можно выразить через теорему Пифагора: \( \sqrt{a^2 + b^2} = 16 \). - Поскольку отрезки относятся к прямоугольнику, и учитывая подобие, высота BP = DQ = h, тогда площадь прямоугольника также может быть выражена через сумму высот h = AP + PQ = 8. 6. **Площадь прямоугольника:** - С учетом данных, вся диагональ AC и свойств прямоугольника, площадь можно выразить как: Площадь = a \times b = h \times (2h), основанная на том, что стороны разделяются отношением диагонали. Площадь = 8 \times 8 = 64. Таким образом, площадь прямоугольника равна 64.