К В прямоутольнике ABCD из вершин В и D опущены перпендикуляры на диагональ AC. Эти перпендикуляры пересекают диагональ в точках P и Q соответственно. Если AP = 2, PQ=6, то…

Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольника и данные условия. Рассмотрим действия пошагово:

1. Понимание условия:

   • В прямоугольнике ABCD из вершин B и D опущены перпендикуляры на диагональ AC, которые пересекают ее в точках P и Q.
   • Даны отрезки AP = 2 и PQ = 6.

2. Анализ геометрии:

   • Поскольку точки P и Q лежат на одной диагонали и образованы перпендикулярами из противоположных углов прямоугольника, BP и DQ являются высотами соответствующих треугольников в прямоугольнике.

3. Использование свойств диагоналей и перпендикуляров:

   • В прямоугольнике диагонали равны, поэтому можно утверждать, что треугольники ABP и DPQ подобны треугольникам DQC и CQA.

4. Вычисление длины диагонали AC:

   • Из условия AP + PQ = AQ, поэтому AQ = 2 + 6 = 8, а значит, AQ = QC = 8.
   • Таким образом, вся диагональ AC = AP + PQ + QC = 2 + 6 + 8 = 16.

5. Вычисление площади прямоугольника:

   • Предположим, что прямоугольник имеет стороны a и b, тогда диагональ AC можно выразить через теорему Пифагора: \( \sqrt{a^2 + b^2} = 16 \).
   • Поскольку отрезки относятся к прямоугольнику, и учитывая подобие, высота BP = DQ = h, тогда площадь прямоугольника также может быть выражена через сумму высот h = AP + PQ = 8.

6. Площадь прямоугольника:

   • С учетом данных, вся диагональ AC и свойств прямоугольника, площадь можно выразить как: Площадь = a \times b = h \times (2h), основанная на том, что стороны разделяются отношением диагонали. Площадь = 8 \times 8 = 64.

Таким образом, площадь прямоугольника равна 64.