Треугольник со сторонами АВ=30см, ВС=25 см и АС=11 см вращается вокруг большей стороны АВ, как показано на рисунке: Вычислите площадь полной поверхности полученной фигуры.

Чтобы найти площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением треугольника около стороны \( AB \), нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем задачу поэтапно. ### Шаг 1: Определение высоты треугольника Для начала найдем высоту треугольника \( h \), опущенную из вершины \( C \) на сторону \( AB \). Для этого воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника. Пусть стороны треугольника: - \( a = AB = 30 \) см - \( b = AC = 11 \) см - \( c = BC = 25 \) см #### 1.1. Находим полупериметр \( p \): \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 11 + 25}{2} = 33 \text{ см} \] #### 1.2. Находим площадь \( S \) по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Подставим наши значения: \[ S = \sqrt{33 \times (33 - 30) \times (33 - 11) \times (33 - 25)} = \sqrt{33 \times 3 \times 22 \times 8} \] Теперь вычислим: \[ 33 - 30 = 3 \\ 33 - 11 = 22 \\ 33 - 25 = 8 \] \[ S = \sqrt{33 \times 3 \times 22 \times 8} \] Вычислим произведение: \[ 33 \times 3 = 99 \\ 99 \times 22 = 2178 \\ 2178 \times 8 = 17424 \] Таким образом, \[ S = \sqrt{17424} \approx 132 \text{ см}^2 \] ### Шаг 2: Находим высоту \( h \) Площадь треугольника также может быть вычислена по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times h \] Подставим известные значения: \[ 132 = \frac{1}{2} \times 30 \times h \] Решим это уравнение для \( h \): \[ 132 = 15h \implies h = \frac{132}{15} \approx 8.8 \text{ см} \] ### Шаг 3: Вычисляем площадь боковой поверхности При вращении треугольника вокруг стороны \( AB \) создается конус. Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле: \[ S_{бок} = \pi r l \] Где: - \( r \) — радиус основания (в данном случае это высота \( h \)) - \( l \) — образующая конуса (длина от вершины до основания), которую находим по формуле: \[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \] В данном случае \( r = AC = 11 \, \text{с}м \): \[ l = \sqrt{8.8^2 + 11^2} = \sqrt{77.44 + 121} \approx \sqrt{198.44} \approx 14.1 \text{ см} \] Теперь подставим значения в формулу для боковой поверхности: \[ S_{бок} = \pi \times 11 \times 14.1 \approx 11 \times 44.1 \approx 485.1 \text{ см}^2 \] ### Шаг 4: Полная площадь поверхности Полная площадь поверхности будет равна площади боковой поверхности плюс площадь базы. Площадь базы — это площадь основания конуса, равная: \[ S_{база} = \pi r^2 = \pi \times 11^2 \approx 380.4 \text{ см}^2 \] ### Общая площадь поверхности: \[ S_{полная} = S_{бок} + S_{база} \approx 485.1 + 380.4 \approx 865.5 \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь полной поверхности полученной фигуры составляет примерно **865.5 см²**.