Треугольник со сторонами АВ=30см, ВС=25 см и АС=11 см вращается вокруг большей стороны АВ, как показано на рисунке: Вычислите площадь полной поверхности полученной фигуры.

Чтобы найти площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением треугольника около стороны \( AB \), нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем задачу поэтапно.

Шаг 1: Определение высоты треугольника

Для начала найдем высоту треугольника \( h \), опущенную из вершины \( C \) на сторону \( AB \). Для этого воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника.

Пусть стороны треугольника:

• \( a = AB = 30 \) см
• \( b = AC = 11 \) см
• \( c = BC = 25 \) см

1.1. Находим полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 11 + 25}{2} = 33 \text{ см} \]

1.2. Находим площадь \( S \) по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подставим наши значения:

\[ S = \sqrt{33 \times (33 - 30) \times (33 - 11) \times (33 - 25)} = \sqrt{33 \times 3 \times 22 \times 8} \]

Теперь вычислим:

\[ 33 - 30 = 3 \\ 33 - 11 = 22 \\ 33 - 25 = 8 \]

\[ S = \sqrt{33 \times 3 \times 22 \times 8} \]

Вычислим произведение:

\[ 33 \times 3 = 99 \\ 99 \times 22 = 2178 \\ 2178 \times 8 = 17424 \]

Таким образом,

\[ S = \sqrt{17424} \approx 132 \text{ см}^2 \]

Шаг 2: Находим высоту \( h \)

Площадь треугольника также может быть вычислена по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times h \]

Подставим известные значения:

\[ 132 = \frac{1}{2} \times 30 \times h \]

Решим это уравнение для \( h \):

\[ 132 = 15h \implies h = \frac{132}{15} \approx 8.8 \text{ см} \]

Шаг 3: Вычисляем площадь боковой поверхности

При вращении треугольника вокруг стороны \( AB \) создается конус. Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле:

\[ S_{бок} = \pi r l \]

Где:

• \( r \) — радиус основания (в данном случае это высота \( h \))
• \( l \) — образующая конуса (длина от вершины до основания), которую находим по формуле:

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]

В данном случае \( r = AC = 11 \, \text{с}м \):

\[ l = \sqrt{8.8^2 + 11^2} = \sqrt{77.44 + 121} \approx \sqrt{198.44} \approx 14.1 \text{ см} \]

Теперь подставим значения в формулу для боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \pi \times 11 \times 14.1 \approx 11 \times 44.1 \approx 485.1 \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Полная площадь поверхности

Полная площадь поверхности будет равна площади боковой поверхности плюс площадь базы. Площадь базы — это площадь основания конуса, равная:

\[ S_{база} = \pi r^2 = \pi \times 11^2 \approx 380.4 \text{ см}^2 \]

Общая площадь поверхности:

\[ S_{полная} = S_{бок} + S_{база} \approx 485.1 + 380.4 \approx 865.5 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности полученной фигуры составляет примерно 865.5 см².