Синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см:
Давайте решим задачу по нахождению значений синуса, косинуса и тангенса большего острого угла прямоугольного треугольника с данными элементами: один катет равен 40 см, а гипотенуза — 41 см.
Шаг 1: Найдем второй катет
В прямоугольном треугольнике мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Где:
- \( c \) — гипотенуза (41 см),
- \( a \) — один катет (40 см),
- \( b \) — другой катет (который мы найдем).
Подставим известные значения:
\[ 41^2 = 40^2 + b^2 \] \[ 1681 = 1600 + b^2 \] \[ b^2 = 1681 - 1600 = 81 \] \[ b = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]
Таким образом, второй катет равен 9 см.
Шаг 2: Определим углы треугольника
Теперь у нас есть оба катета:
- \( a = 40 \) см (больший катет),
- \( b = 9 \) см (меньший катет).
Мы можем использовать функции тригонометрии для нахождения острого угла.
Обозначим угол, противолежащий катету \( b \) (9 см) как \( \alpha \), а угол, противолежащий катету \( a \) (40 см) как \( \beta \). Поскольку \( a > b \), угол \( \beta \) будет больше, чем \( \alpha \).
Для нахождения угла \( \beta \) используем косинус:
\[ \cos(\beta) = \frac{a}{c} = \frac{40}{41} \]
Шаг 3: Найдем значения тригонометрических функций
Теперь найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла \( \beta \).
- Косинус:
\[ \cos(\beta) = \frac{40}{41} \]
- Синус:
Используем соотношение для синуса:
\[ \sin(\beta) = \sqrt{1 - \cos^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{40}{41}\right)^2} \] \[ \sin(\beta) = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} \]
- Тангенс:
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу:
\[ \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{9}{41}}{\frac{40}{41}} = \frac{9}{40} \]
Итог
Таким образом, для большего острого угла \( \beta \) прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см получаем:
- Синус: \( \sin(\beta) = \frac{9}{41} \)
- Косинус: \( \cos(\beta) = \frac{40}{41} \)
- Тангенс: \( \tan(\beta) = \frac{9}{40} \)
Теперь у вас есть все необходимые значения тригонометрических функций для данного угла!
