Синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см:

Давайте решим задачу по нахождению значений синуса, косинуса и тангенса большего острого угла прямоугольного треугольника с данными элементами: один катет равен 40 см, а гипотенуза — 41 см. ### Шаг 1: Найдем второй катет В прямоугольном треугольнике мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Где: - \( c \) — гипотенуза (41 см), - \( a \) — один катет (40 см), - \( b \) — другой катет (который мы найдем). Подставим известные значения: \[ 41^2 = 40^2 + b^2 \] \[ 1681 = 1600 + b^2 \] \[ b^2 = 1681 - 1600 = 81 \] \[ b = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \] Таким образом, второй катет равен 9 см. ### Шаг 2: Определим углы треугольника Теперь у нас есть оба катета: - \( a = 40 \) см (больший катет), - \( b = 9 \) см (меньший катет). Мы можем использовать функции тригонометрии для нахождения острого угла. Обозначим угол, противолежащий катету \( b \) (9 см) как \( \alpha \), а угол, противолежащий катету \( a \) (40 см) как \( \beta \). Поскольку \( a > b \), угол \( \beta \) будет больше, чем \( \alpha \). Для нахождения угла \( \beta \) используем косинус: \[ \cos(\beta) = \frac{a}{c} = \frac{40}{41} \] ### Шаг 3: Найдем значения тригонометрических функций Теперь найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла \( \beta \). 1. **Косинус:** \[ \cos(\beta) = \frac{40}{41} \] 2. **Синус:** Используем соотношение для синуса: \[ \sin(\beta) = \sqrt{1 - \cos^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{40}{41}\right)^2} \] \[ \sin(\beta) = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} \] 3. **Тангенс:** Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: \[ \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{9}{41}}{\frac{40}{41}} = \frac{9}{40} \] ### Итог Таким образом, для большего острого угла \( \beta \) прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см получаем: - Синус: \( \sin(\beta) = \frac{9}{41} \) - Косинус: \( \cos(\beta) = \frac{40}{41} \) - Тангенс: \( \tan(\beta) = \frac{9}{40} \) Теперь у вас есть все необходимые значения тригонометрических функций для данного угла!