Решение

Для решения уравнения \(3 \log_2^2 x + 5 \log_2 x - 2 = 0\) введем замену: \(y = \log_2 x\). Тогда уравнение примет вид:

\[3y^2 + 5y - 2 = 0.\]

Это квадратное уравнение. Решим его используя формулу корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = -2\).

Найдём дискриминант \(\Delta\):

\[\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49.\]

Теперь найдём корни:

1. \[y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\]

2. \[y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2.\]

Теперь вернемся к переменной \(x\):

1. Если \(y_1 = \frac{1}{3}\), то \(\log_2 x = \frac{1}{3}\), отсюда \(x = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}.\)

2. Если \(y_2 = -2\), то \(\log_2 x = -2\), отсюда \(x = 2^{-2} = \frac{1}{4}.\)

Больший корень — это \(\sqrt[3]{2}\).

Ответ: \(\sqrt[3]{2}\).