В прямоугольнике ABCD из вершин В и D опущены перпендикуляры на диагональ АС. Эти перпендикуляры пересекают диагональ в точках Р и • соответственно. Если АР = 2, PQ = 6, то площадь прямоугольника равна ...

Для решения задачи, давайте рассмотрим, что дано, и что нам нужно найти. 1. **Дано:** - Прямоугольник ABCD. - Перпендикуляры из точек B и D на диагональ AC. - Обозначим точки пересечения перпендикуляров и диагонали как P и Q соответственно. - Длину отрезка AP = 2 и PQ = 6. 2. **Что нужно найти:** Площадь прямоугольника ABCD. 3. **Решение:** Начнем с анализа диагонали AC и перпендикуляров BP и DQ. Так как BP и DQ — перпендикуляры к AC, они будут высотой данного прямоугольника по отношению к основанию AC. 4. **Найдем длину отрезка AQ:** Поскольку PQ = 6, и мы движемся от точки P до точки Q по диагонали, то отрезок AQ можно выразить как: \[ AQ = AP + PQ = 2 + 6 = 8. \] 5. **Теперь определим длину отрезка PC:** Поскольку точки P и Q делят диагональ AC на два отрезка — AP и CQ (с учетом симметрии), отрезок QC равен PQ. Мы знаем, что: \[ PC = PQ + QC = 6 + (PQ) = 6 + 2 = 8. \] 6. **Теперь найдем длину отрезка AC:** Весь отрезок AC состоит из AP и PC: \[ AC = AP + PQ + QC = 2 + 6 + 2 = 10. \] 7. **Теперь нужно найти высоту прямоугольника (BC или AD):** Высота прямоугольника будет равна длине перпендикуляров BP и DQ, которая равна PQ. Поскольку PQ составляет 6, высота прямоугольника равна 6. 8. **Теперь можем найти площадь прямоугольника ABCD.** Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле: \[ \text{Площадь} = \text{длина} \times \text{высота} = AC \times BC = 10 \times 6 = 60. \] Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 60 квадратным единицам.