Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Площадь ее поверхности равна 864. Найдите высоту призмы.
Для решения задачи найдем высоту призмы, используя данные об основании прямой треугольной призмы и площади ее поверхности.
Найдем площадь основания:
Площадь прямоугольного треугольника \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b\), где \(a = 12\) и \(b = 16\).
\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \]
Найдём гипотенузу:
Используя теорему Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \]
Найдём площадь боковой поверхности:
Полная площадь поверхности призмы \(S_{\text{полн}} = 864\).
Формула для полной площади поверхности призмы:
\[ S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]
Подставим известные значения:
\[ 864 = 2 \times 96 + S_{\text{бок}} \]
\[ S_{\text{бок}} = 864 - 192 = 672 \]
Найдем высоту призмы:
Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = (a + b + c) \times h\), где \(h\) — высота призмы.
\[ 672 = (12 + 16 + 20) \times h = 48h \]
\[ h = \frac{672}{48} = 14 \]
Таким образом, высота призмы равна 14.
