2.У прямоугольного треугольника один катет равен 12 см, а косинус противоположного ему угла равен 0,4. Найдите гипотенузу и второй катет.

Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике. У нас есть один катет, который равен 12 см, и косинус угла, противоположного этому катету, равен 0,4. Нам нужно найти гипотенузу и второй катет.

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника.
Пусть:

• \( a \) — катет, который равен 12 см.
• \( b \) — второй катет, который нам нужно найти.
• \( c \) — гипотенуза.

Шаг 2: Используем определение косинуса.
Косинус угла (обозначим его \( A \)), противоположного катету \( a \) (12 см), можно выразить так:

\[ \cos A = \frac{a}{c} \]

В нашем случае у нас есть значение \( \cos A = 0,4 \). Подставим известные величины в формулу:

\[ 0,4 = \frac{12}{c} \]

Шаг 3: Найдем гипотенузу \( c \).
Перепишем уравнение для нахождения гипотенузы:

\[ c = \frac{12}{0,4} \]

Теперь вычислим \( c \):

\[ c = 12 \div 0,4 = 30 \text{ см} \]

Итак, гипотенуза \( c \) равна 30 см.

Шаг 4: Найдем второй катет \( b \).
Для нахождения второго катета мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 30^2 = 12^2 + b^2 \]

Теперь посчитаем квадраты:

\[ 900 = 144 + b^2 \]

Шаг 5: Изолируем \( b^2 \).
Вычтем 144 из обеих сторон уравнения:

\[ b^2 = 900 - 144 = 756 \]

Теперь найдем \( b \) извлекая квадратный корень:

\[ b = \sqrt{756} \]

Шаг 6: Упростим \( b \).
Сделаем разложение на множители:

\[ 756 = 4 \times 189 = 4 \times 9 \times 21 = 36 \times 21 \]

Таким образом:

\[ \sqrt{756} = \sqrt{36 \times 21} = 6\sqrt{21} \]

Приблизительно \( \sqrt{21} \approx 4,58 \), тогда:

\[ b \approx 6 \times 4,58 \approx 27,48 \text{ см} \]

Ответ:

• Гипотенуза \( c \) равна 30 см.
• Второй катет \( b \) равен \( 6\sqrt{21} \) см или примерно 27,48 см.

Это решение показывает, как можно использовать известные значения, чтобы найти необходимые стороны прямоугольного треугольника.