Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике. У нас есть один катет, который равен 12 см, и косинус угла, противоположного этому катету, равен 0,4. Нам нужно найти гипотенузу и второй катет.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника.
Пусть:
- ( a ) — катет, который равен 12 см.
- ( b ) — второй катет, который нам нужно найти.
- ( c ) — гипотенуза.
Шаг 2: Используем определение косинуса.
Косинус угла (обозначим его ( A )), противоположного катету ( a ) (12 см), можно выразить так:
[
\cos A = \frac{a}{c}
]
В нашем случае у нас есть значение ( \cos A = 0,4 ). Подставим известные величины в формулу:
[
0,4 = \frac{12}{c}
]
Шаг 3: Найдем гипотенузу ( c ).
Перепишем уравнение для нахождения гипотенузы:
[
c = \frac{12}{0,4}
]
Теперь вычислим ( c ):
[
c = 12 \div 0,4 = 30 \text{ см}
]
Итак, гипотенуза ( c ) равна 30 см.
Шаг 4: Найдем второй катет ( b ).
Для нахождения второго катета мы можем использовать теорему Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
30^2 = 12^2 + b^2
]
Теперь посчитаем квадраты:
[
900 = 144 + b^2
]
Шаг 5: Изолируем ( b^2 ).
Вычтем 144 из обеих сторон уравнения:
[
b^2 = 900 - 144 = 756
]
Теперь найдем ( b ) извлекая квадратный корень:
[
b = \sqrt{756}
]
Шаг 6: Упростим ( b ).
Сделаем разложение на множители:
[
756 = 4 \times 189 = 4 \times 9 \times 21 = 36 \times 21
]
Таким образом:
[
\sqrt{756} = \sqrt{36 \times 21} = 6\sqrt{21}
]
Приблизительно ( \sqrt{21} \approx 4,58 ), тогда:
[
b \approx 6 \times 4,58 \approx 27,48 \text{ см}
]
Ответ:
- Гипотенуза ( c ) равна 30 см.
- Второй катет ( b ) равен ( 6\sqrt{21} ) см или примерно 27,48 см.
Это решение показывает, как можно использовать известные значения, чтобы найти необходимые стороны прямоугольного треугольника.
