Высоты параллелограмма равна 5 см и 4 см, а периметр равен 42. Найдите площадь параллелограмма.
Чтобы найти площадь параллелограмма, сначала вспомним формулу для расчета площади. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\[ S = a \cdot h \]
где \( S \) — площадь, \( a \) — основание параллелограмма (длина стороны), а \( h \) — высота, проведенная к этому основанию.
Шаг 1: Определим стороны параллелограмма
Из условий задачи известно, что высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см. Это означает, что если у нас есть 2 стороны параллелограмма (обозначим их \( a \) и \( b \)), то эти высоты соответствуют этим сторонам.
Шаг 2: Используем периметр для нахождения сторон
Периметр параллелограмма вычисляется по формуле:
\[ P = 2(a + b) \]
где \( P \) — периметр, \( a \) и \( b \) — длины сторон параллелограмма.
Из условия задачи нам дан периметр, равный 42 см:
\[ 2(a + b) = 42 \]
Поделим обе стороны уравнения на 2:
\[ a + b = 21 \]
Шаг 3: Найдем площадь параллелограмма
Поскольку у нас есть два случая (высота 5 см соответствует стороне \( a \), а высота 4 см — стороне \( b \)), площадь можно найти отдельно для каждой стороны:
- Если высота \( h_1 = 5 \) см соответствует основанию \( a \):
\[ S_1 = a \cdot h_1 = a \cdot 5 \]
- Если высота \( h_2 = 4 \) см соответствует основанию \( b \):
\[ S_2 = b \cdot h_2 = b \cdot 4 \]
Таким образом, у нас есть два выражения для площади параллелограмма:
- \( S_1 = a \cdot 5 \)
- \( S_2 = b \cdot 4 \)
Поскольку обе эти площади равны, можем написать:
\[ a \cdot 5 = b \cdot 4 \]
Шаг 4: Решаем систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a + b = 21 \)
- \( 5a = 4b \) (можно переписать как \( b = \frac{5}{4} a \))
Теперь подставим второе уравнение в первое:
\[ a + \frac{5}{4} a = 21 \]
Объединим и упростим:
\[ \frac{4}{4} a + \frac{5}{4} a = 21 \] \[ \frac{9}{4} a = 21 \]
Умножим обе стороны на 4:
\[ 9a = 84 \]
Теперь разделим обе стороны на 9:
\[ a = \frac{84}{9} = 9.33 \, \text{(около 9.33 см)} \]
Теперь найдем \( b \):
\[ b = 21 - a = 21 - 9.33 \approx 11.67 \, \text{(около 11.67 см)} \]
Шаг 5: Находим площадь параллелограмма
Теперь можем использовать одну из формул для расчета площади. Например, используем высоту 5 см от стороны \( a \):
\[ S = a \cdot h_1 = 9.33 \cdot 5 \approx 46.65 \, \text{см}^2 \]
Проверим с высотой 4 см от стороны \( b \):
\[ S = b \cdot h_2 = 11.67 \cdot 4 \approx 46.68 \, \text{см}^2 \]
Заключение
Площадь параллелограмма приблизительно равна 46.67 см². Таким образом, несмотря на небольшую неточность из-за округления, мы пришли к схожим результатам для двух сторон и их соответствующих высот.
