Докажите, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.

Чтобы доказать, что среднее геометрическое двух положительных отрезков \(a\) и \(b\) не превосходит их среднего арифметического, необходимо воспользоваться определениями этих двух понятий. 1. **Определение среднего арифметического**: Среднее арифметическое двух чисел \(a\) и \(b\) определяется как: \[ A = \frac{a + b}{2} \] 2. **Определение среднего геометрического**: Среднее геометрическое двух чисел \(a\) и \(b\) определяется как: \[ G = \sqrt{a \cdot b} \] Теперь нам нужно показать, что: \[ \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} \] 3. **Квадрат неравенства**: Удобнее будет работать с квадратами, поэтому возведем обе части неравенства в квадрат (поскольку все числа положительные, знак неравенства сохранится): \[ a \cdot b \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \] 4. **Раскроем квадрат**: Разложим правую часть: \[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \] 5. **Перепишем неравенство**: Теперь мы можем записать неравенство: \[ a \cdot b \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \] 6. **Умножим обе стороны на 4**: Умножим обе части неравенства на 4 для упрощения: \[ 4ab \leq a^2 + 2ab + b^2 \] 7. **Приведем подобные**: Переносим все в одну сторону и упрощаем: \[ 4ab - 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \implies 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \] 8. **Перепишем неравенство**: Это можно переписать в виде: \[ -a^2 + 2ab - b^2 \leq 0 \] Или в виде: \[ (a - b)^2 \geq 0 \] 9. **Заключение**: Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы получаем, что: \[ (a - b)^2 \geq 0 \] Это всегда верно, следовательно, мы доказали, что среднее геометрическое \(G\) не превосходит среднее арифметическое \(A\): \[ \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} \] Таким образом, мы доказали, что среднее геометрическое двух отрезков не превышает их среднее арифметическое.