Докажите, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.
Чтобы доказать, что среднее геометрическое двух положительных отрезков \(a\) и \(b\) не превосходит их среднего арифметического, необходимо воспользоваться определениями этих двух понятий.
Определение среднего арифметического: Среднее арифметическое двух чисел \(a\) и \(b\) определяется как: \[ A = \frac{a + b}{2} \]
Определение среднего геометрического: Среднее геометрическое двух чисел \(a\) и \(b\) определяется как: \[ G = \sqrt{a \cdot b} \]
Теперь нам нужно показать, что: \[ \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} \]
Квадрат неравенства: Удобнее будет работать с квадратами, поэтому возведем обе части неравенства в квадрат (поскольку все числа положительные, знак неравенства сохранится): \[ a \cdot b \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \]
Раскроем квадрат: Разложим правую часть: \[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \]
Перепишем неравенство: Теперь мы можем записать неравенство: \[ a \cdot b \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \]
Умножим обе стороны на 4: Умножим обе части неравенства на 4 для упрощения: \[ 4ab \leq a^2 + 2ab + b^2 \]
Приведем подобные: Переносим все в одну сторону и упрощаем: \[ 4ab - 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \implies 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \]
Перепишем неравенство: Это можно переписать в виде: \[ -a^2 + 2ab - b^2 \leq 0 \] Или в виде: \[ (a - b)^2 \geq 0 \]
Заключение: Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы получаем, что: \[ (a - b)^2 \geq 0 \] Это всегда верно, следовательно, мы доказали, что среднее геометрическое \(G\) не превосходит среднее арифметическое \(A\): \[ \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} \]
Таким образом, мы доказали, что среднее геометрическое двух отрезков не превышает их среднее арифметическое.
