Чтобы определить, сколько треугольников можно сформировать из 12 точек на плоскости, где никакие три точки не лежат на одной прямой, мы можем использовать комбинации.
Треугольник формируется из 3 точек. Мы можем выбрать 3 точки из 12, и количество способов сделать это рассчитывается по формуле сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество точек, а ( k ) — количество точек, которые мы выбираем.
В нашем случае:
Подставляем значения в формулу:
[
C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}
]
Теперь вычислим факториалы:
- ( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! )
- ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )
- ( 9! ) в числителе и знаменателе сокращается.
Итак, подставим:
[
C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6}
]
Теперь произведем вычисления:
Сначала умножим 12, 11 и 10:
[
12 \times 11 = 132
]
[
132 \times 10 = 1320
]
Делим на 6:
[
\frac{1320}{6} = 220
]
Таким образом, количество различных треугольников, которые можно сформировать из 12 точек, составляет 220.
