на плоскости отметили 12 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. сколько существует треугольников с вершинами в этих точках

Чтобы определить, сколько треугольников можно сформировать из 12 точек на плоскости, где никакие три точки не лежат на одной прямой, мы можем использовать комбинации.

Треугольник формируется из 3 точек. Мы можем выбрать 3 точки из 12, и количество способов сделать это рассчитывается по формуле сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество точек, а \( k \) — количество точек, которые мы выбираем.

В нашем случае:

• \( n = 12 \)
• \( k = 3 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]

Теперь вычислим факториалы:

• \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 9! \) в числителе и знаменателе сокращается.

Итак, подставим:

\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} \]

Теперь произведем вычисления:

1. Сначала умножим 12, 11 и 10: \[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \]

2. Делим на 6: \[ \frac{1320}{6} = 220 \]

Таким образом, количество различных треугольников, которые можно сформировать из 12 точек, составляет 220.