На окружности с центром в точке O O случайным образом выбрали точку X X . Какова вероятность того, что эта точка лежит на меньшей дуге C B CB , если A B AB и C D CD — диаметры…

Для того чтобы понять задачу, давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Понять геометрический контекст

У нас есть окружность с центром в точке \( O \). На этой окружности выбрана произвольная точка \( X \). Мы хотим найти вероятность того, что точка \( X \) лежит на меньшей дуге \( CB \), где \( AB \) и \( CD \) — диаметры окружности, а угол \( BOD \) равен \( 72^\circ \).

Шаг 2: Определение дуг и углов

1. Угол \( BOD \) – это центральный угол, который соответствует дуге \( BD \).
2. Поскольку \( AB \) и \( CD \) — это диаметры, то угол \( BOD \) делит окружность на две части:
   • Меньшая дуга \( CB \) и
   • Большая дуга \( CB \) (которая эквивалентна части окружности, не включая меньшую дугу).

Шаг 3: Найдем длиные дуги на окружности

• Центральный угол \( BOD \) равен \( 72^\circ \). Это означает, что дуга \( BD \) соответствует этому углу.
• Поскольку \( AB \) и \( CD \) — это диаметры, полный угол по окружности составляет \( 360^\circ \).
• Угол \( BOD \) разделяет окружность на две дуги:
  • Меньшая дуга \( CB \)
  • Большая дуга \( CB \)

Чтобы найти угол меньшей дуги \( CB \): \[ \text{Угол меньшей дуги } CB = 360^\circ - 72^\circ = 288^\circ \]

Теперь нам нужно определить, какой угол соответствует меньшей дуге.

Шаг 4: Вычисление вероятности

Вероятность того, что случайная точка \( X \) на окружности будет находиться на меньшей дуге \( CB \), равна отношению радиуса меньшей дуги к полному кругу:

\[ P(X \in \text{меньшей дуге } CB) = \frac{\text{угол меньшей дуги } CB}{\text{полный угол}} = \frac{72^\circ}{360^\circ} \]

Шаг 5: Упрощение

Упрощаем дробь:

\[ P(X \in \text{меньшей дуге } CB) = \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \]

Ответ

Вероятность того, что точка \( X \) лежит на меньшей дуге \( CB \), равна \( \frac{1}{5} \) или 20%.