На окружности с центром в точке  O O случайным образом выбрали точку  X X. Какова вероятность того, что эта точка лежит на меньшей дуге  C B CB, если  A B AB и  C D CD — диаметры окружности, а угол  B O D BOD равен  72 ° 72°?

Для того чтобы понять задачу, давайте разберем ее по шагам. **Шаг 1: Понять геометрический контекст** У нас есть окружность с центром в точке \( O \). На этой окружности выбрана произвольная точка \( X \). Мы хотим найти вероятность того, что точка \( X \) лежит на меньшей дуге \( CB \), где \( AB \) и \( CD \) — диаметры окружности, а угол \( BOD \) равен \( 72^\circ \). **Шаг 2: Определение дуг и углов** 1. Угол \( BOD \) – это центральный угол, который соответствует дуге \( BD \). 2. Поскольку \( AB \) и \( CD \) — это диаметры, то угол \( BOD \) делит окружность на две части: - Меньшая дуга \( CB \) и - Большая дуга \( CB \) (которая эквивалентна части окружности, не включая меньшую дугу). **Шаг 3: Найдем длиные дуги на окружности** - Центральный угол \( BOD \) равен \( 72^\circ \). Это означает, что дуга \( BD \) соответствует этому углу. - Поскольку \( AB \) и \( CD \) — это диаметры, полный угол по окружности составляет \( 360^\circ \). - Угол \( BOD \) разделяет окружность на две дуги: - Меньшая дуга \( CB \) - Большая дуга \( CB \) Чтобы найти угол меньшей дуги \( CB \): \[ \text{Угол меньшей дуги } CB = 360^\circ - 72^\circ = 288^\circ \] Теперь нам нужно определить, какой угол соответствует меньшей дуге. **Шаг 4: Вычисление вероятности** Вероятность того, что случайная точка \( X \) на окружности будет находиться на меньшей дуге \( CB \), равна отношению радиуса меньшей дуги к полному кругу: \[ P(X \in \text{меньшей дуге } CB) = \frac{\text{угол меньшей дуги } CB}{\text{полный угол}} = \frac{72^\circ}{360^\circ} \] **Шаг 5: Упрощение** Упрощаем дробь: \[ P(X \in \text{меньшей дуге } CB) = \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \] **Ответ** Вероятность того, что точка \( X \) лежит на меньшей дуге \( CB \), равна \( \frac{1}{5} \) или 20%.