вероятность перевыполнения плана для станка 1 = 0,3 для станка 2- 0,5 для станка 3- 0,8 случайная величина X число станков перевыполнивших план
Давайте разберем вашу задачу по вероятности перевыполнения плана для трех станков. Мы имеем три станка с известными вероятностями перевыполнения плана и нам нужно найти вероятности для случайной величины X, которая представляет количество станков, перевыполнивших план.
Шаг 1: Определение вероятностей
Даны следующие вероятности перевыполнения плана:
- Для станка 1: \( P_1 = 0,3 \)
- Для станка 2: \( P_2 = 0,5 \)
- Для станка 3: \( P_3 = 0,8 \)
Пусть \( X \) — это случайная величина, представляющая количество станков, которые перевыполнили план.
Шаг 2: Возможные значения X
Случайная величина \( X \) может принимать значения от 0 до 3, то есть:
- \( X = 0 \) (ни один станок не перевыполнил план)
- \( X = 1 \) (один станок перевыполнил план)
- \( X = 2 \) (два станка перевыполнили план)
- \( X = 3 \) (все три станка перевыполнили план)
Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждого значения X
Вероятность \( P(X = 0) \)
Это вероятность того, что ни один станок не перевыполнил план: \[ P(X = 0) = (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) \cdot (1 - P_3) = (1 - 0,3) \cdot (1 - 0,5) \cdot (1 - 0,8) \] \[ P(X = 0) = 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,2 = 0,07 \]
Вероятность \( P(X = 1) \)
Это сумма вероятностей всех случаев, когда только один станок перевыполнил план. Есть три случая:
- Перевыполнил только станок 1:
\[ P(X = 1, \text{ только } S_1) = P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot (1 - P_3) = 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,2 = 0,03 \] - Перевыполнил только станок 2:
\[ P(X = 1, \text{ только } S_2) = (1 - P_1) \cdot P_2 \cdot (1 - P_3) = 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,2 = 0,07 \] - Перевыполнил только станок 3:
\[ P(X = 1, \text{ только } S_3) = (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) \cdot P_3 = 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,8 = 0,28 \] Теперь складываем все случаи: \[ P(X = 1) = 0,03 + 0,07 + 0,28 = 0,38 \]
Вероятность \( P(X = 2) \)
Аналогично, это сумма вероятностей всех случаев, когда два станка перевыполнили план:
- Перевыполнили станки 1 и 2:
\[ P(X = 2, S_1 \text{ и } S_2) = P_1 \cdot P_2 \cdot (1 - P_3) = 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,2 = 0,03 \] - Перевыполнили станки 1 и 3:
\[ P(X = 2, S_1 \text{ и } S_3) = P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot P_3 = 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,8 = 0,12 \] - Перевыполнили станки 2 и 3:
\[ P(X = 2, S_2 \text{ и } S_3) = (1 - P_1) \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,8 = 0,28 \] Теперь складываем все случаи: \[ P(X = 2) = 0,03 + 0,12 + 0,28 = 0,43 \]
Вероятность \( P(X = 3) \)
Это вероятность того, что все три станка перевыполнили план: \[ P(X = 3) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,8 = 0,12 \]
Шаг 4: Итоговые вероятности
Теперь подведем итоги:
- \( P(X = 0) = 0,07 \)
- \( P(X = 1) = 0,38 \)
- \( P(X = 2) = 0,43 \)
- \( P(X = 3) = 0,12 \)
Таким образом, мы рассчитали вероятности для каждой из случайных состояний X. Если у вас остались вопросы или нужно подробнее объяснить какие-то шаги, дайте знать!
