Чтобы помочь вам с заданием, давайте разобьем текст на предложения и заменим пропуски нужными буквами. Ниже также объясним, почему именно такие буквы должны стоять на месте точек.
иногда на базаре какая-нибудь Барыня давала Ванюше свою корзину и платила ему пятак за то, чтобы продолжение
Правильное слово: продолжение. Это слово образовано от глагола "продолжать", окончание "-ение" указывает на процесс или результат действия.
часто таскал за ней по базару эту корзину. о судьбе героев автор обещал рассказать в
Правильное слово: продолжении. Это форма существительного, которое указывает на конкретный момент в будущем, когда произойдет действие.
вследствие подчинённого положения Якова в пансионате товарищей обращались с ним небрежно.
Правильное слово: товарищей. Существительное "товарищ" во множественном числе имеет окончание "-ей" в родительном падеже.
вследствие по делу арестованного вмешались представители общественных организаций.
Правильное слово: организации. Существительное "организация" во множественном числе также имеет окончание "-и".
впоследствии я узнала, что не только наводнение являлась причиной нашей задержки.
Правильное слово: наводнение. Это слово в единственном числе, стоит обратить внимание на окончание "-ие" для существительных, образованных от глаголов.
в течение всей дороги Касьян сохранял упрямое молчание.
Правильное слово: молчание. Существительное, образованное от глагола "молчать", имеет окончание "-ие".
она повторяла свою роль на ходу низко кланялась несколько раз, потом качала головой наподобие глиняных котов.
Правильное слово: кланялась. Здесь мы видим глагол в прошедшем времени.
вследствие какой-то задержки в пути лошади отстали.
Правильное слово: задержки. Здесь существительное также в родительном падеже с окончанием "-и".
продолжение всего лета он раза два-три в неделю приезжал к нам.
Правильное слово: продолжение. То же самое слово, как и в первом предложении.
Обратите внимание на использование окончаний и причины их выбора. Окончания могут изменяться в зависимости от падежа (именительный, родительный и др.) и числа (единственное или множественное). Если есть вопросы по каким-то конкретным словам или правилам, не стесняйтесь спрашивать!