Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что…

Чтобы решить задачу о вероятности произведения чисел на карточках, давайте сначала вспомним, что такое простое число. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само это число.

Шаг 1: Понимание условия задачи

У нас есть три человека (Петя, Вася и Толя), каждый из которых имеет набор карточек с числами: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый из них выбирает одну карточку, и мы должны найти вероятность того, что произведение карточек, выбранных ими, будет простым числом.

Шаг 2: Произведение карточек

Рассмотрим, как мы можем получить простое произведение. Чтобы произведение \( P \) трех чисел \( a \), \( b \) и \( c \) (где каждое из них — это число на карточке) было простым, оно должно выполняться следующим образом:

• Один из множителей должен быть простым числом, а остальные должны быть равны 1.

Шаг 3: Какие карточки нужно выбрать

В наборе у нас есть следующие числа:

• 1 (не влияет на произведение)
• 4 (число, которое не является простым, т.к. делится на 1, 2, 4)
• 5 (простое число)
• 6 (число, которое не является простым, т.к. делится на 1, 2, 3, 6)
• 13 (простое число)

Поэтому, чтобы произведение было простым, один из игроков должен выбрать 5 или 13, а остальные двое должны выбрать 1.

Шаг 4: Подсчет возможных случаев

1. Случай, когда выбран 5:

   • Тот, кто выбрал 5, должен быть одним из трех игроков. Остальные двое выбирают 1.
   • Это можно сделать следующими способами:
     • Петя выбирает 5, Вася выбирает 1, Толя выбирает 1.
     • Петя выбирает 1, Вася выбирает 5, Толя выбирает 1.
     • Петя выбирает 1, Вася выбирает 1, Толя выбирает 5.
   • Всего 3 способа.

2. Случай, когда выбран 13:

   • Аналогично, как и в случае с 5.
   • Мы также можем получить 3 способа:
     • Петя выбирает 13, Вася выбирает 1, Толя выбирает 1.
     • Петя выбирает 1, Вася выбирает 13, Толя выбирает 1.
     • Петя выбирает 1, Вася выбирает 1, Толя выбирает 13.
   • Всего 3 способа.

В сумме мы имеем \( 3 + 3 = 6 \) благоприятных случаев.

Шаг 5: Общее количество случаев

Каждый из трех игроков может выбрать одну из пяти карточек, следовательно, общее количество случаев: \[ 5 \times 5 \times 5 = 125 \]

Шаг 6: Вероятность

Теперь мы можем найти вероятность того, что произведение чисел на карточках является простым: \[ P(\text{простое}) = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{6}{125} \]

Ответ

Вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \(\frac{6}{125}\).