Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число.

Чтобы решить задачу о вероятности произведения чисел на карточках, давайте сначала вспомним, что такое простое число. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само это число. ### Шаг 1: Понимание условия задачи У нас есть три человека (Петя, Вася и Толя), каждый из которых имеет набор карточек с числами: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый из них выбирает одну карточку, и мы должны найти вероятность того, что произведение карточек, выбранных ими, будет простым числом. ### Шаг 2: Произведение карточек Рассмотрим, как мы можем получить простое произведение. Чтобы произведение \( P \) трех чисел \( a \), \( b \) и \( c \) (где каждое из них — это число на карточке) было простым, оно должно выполняться следующим образом: - Один из множителей должен быть простым числом, а остальные должны быть равны 1. ### Шаг 3: Какие карточки нужно выбрать В наборе у нас есть следующие числа: - 1 (не влияет на произведение) - 4 (число, которое не является простым, т.к. делится на 1, 2, 4) - 5 (простое число) - 6 (число, которое не является простым, т.к. делится на 1, 2, 3, 6) - 13 (простое число) Поэтому, чтобы произведение было простым, один из игроков должен выбрать 5 или 13, а остальные двое должны выбрать 1. ### Шаг 4: Подсчет возможных случаев 1. **Случай, когда выбран 5**: - Тот, кто выбрал 5, должен быть одним из трех игроков. Остальные двое выбирают 1. - Это можно сделать следующими способами: - Петя выбирает 5, Вася выбирает 1, Толя выбирает 1. - Петя выбирает 1, Вася выбирает 5, Толя выбирает 1. - Петя выбирает 1, Вася выбирает 1, Толя выбирает 5. - Всего 3 способа. 2. **Случай, когда выбран 13**: - Аналогично, как и в случае с 5. - Мы также можем получить 3 способа: - Петя выбирает 13, Вася выбирает 1, Толя выбирает 1. - Петя выбирает 1, Вася выбирает 13, Толя выбирает 1. - Петя выбирает 1, Вася выбирает 1, Толя выбирает 13. - Всего 3 способа. В сумме мы имеем \( 3 + 3 = 6 \) благоприятных случаев. ### Шаг 5: Общее количество случаев Каждый из трех игроков может выбрать одну из пяти карточек, следовательно, общее количество случаев: \[ 5 \times 5 \times 5 = 125 \] ### Шаг 6: Вероятность Теперь мы можем найти вероятность того, что произведение чисел на карточках является простым: \[ P(\text{простое}) = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{6}{125} \] ### Ответ Вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \(\frac{6}{125}\).