Решим задачу, чтобы найти скорость теплохода в неподвижной воде. Давайте обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как ( v ) км/ч.
Дано:
- Расстояние до пункта назначения по течению: ( S = 280 ) км.
- Скорость течения: ( V_{теч} = 4 ) км/ч.
- Время стоянки: ( t_{стоя} = 14 ) часов.
- Общее время в пути (отправление и возврат): ( t_{общ} = 38 ) часов.
Шаг 1: Найдем время в пути по течению
Когда теплоход следует по течению, его скорость будет равна:
[
v_{по течению} = v + V_{теч} = v + 4 \text{ км/ч}.
]
Когда теплоход возвращается против течения, его скорость будет:
[
v_{против течения} = v - V_{теч} = v - 4 \text{ км/ч}.
]
Теперь нам нужно найти время, затраченное на путь в одну сторону и обратный путь.
Шаг 2: Запишем уравнение для времени в пути
Время, затраченное на путь до пункта назначения:
[
t_{вперед} = \frac{S}{v_{по течению}} = \frac{280}{v + 4} \text{ часов}.
]
Время, затраченное на обратный путь:
[
t_{назад} = \frac{S}{v_{против течения}} = \frac{280}{v - 4} \text{ часов}.
]
Шаг 3: Составим уравнение
Общее время в пути (включая стоянку) равно 38 часам:
[
t_{вперед} + t_{назад} + t_{стоя} = t_{общ}.
]
Подставляем полученные выражения в уравнение:
[
\frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} + 14 = 38.
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Упростим его:
[
\frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} = 38 - 14,
]
[
\frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} = 24.
]
Теперь объединим дроби:
[
280 \left( \frac{1}{v + 4} + \frac{1}{v - 4} \right) = 24.
]
Объединяем две дроби:
[
280 \cdot \frac{(v - 4) + (v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 24,
]
[
280 \cdot \frac{2v}{v^2 - 16} = 24.
]
Шаг 5: Упростим дальнейшие действия
Умножим обе стороны на ( (v^2 - 16) ):
[
560v = 24(v^2 - 16).
]
Раскроем скобки:
[
560v = 24v^2 - 384.
]
Переместим все в одну сторону:
[
24v^2 - 560v - 384 = 0.
]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение
Чтобы решить квадратное уравнение ( 24v^2 - 560v - 384 = 0 ):
Применим формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-560)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-384).
]
Вычислим:
[
D = 313600 + 36864 = 350464.
]
Следовательно, корни можно найти по формуле:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{560 \pm \sqrt{350464}}{2 \cdot 24}.
]
Вычисляем (\sqrt{350464} \approx 592) (приблизительно):
[
v = \frac{560 \pm 592}{48}.
]
Шаг 7: Найдем два возможных значения для (v)
- (v = \frac{1152}{48} = 24) км/ч.
- (v = \frac{-32}{48}) (отрицательный результат отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной).
Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде составляет ( v = 24 ) км/ч.
Ответ:
Скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.
