Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость…

Решим задачу, чтобы найти скорость теплохода в неподвижной воде. Давайте обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( v \) км/ч.

Дано:

• Расстояние до пункта назначения по течению: \( S = 280 \) км.
• Скорость течения: \( V_{теч} = 4 \) км/ч.
• Время стоянки: \( t_{стоя} = 14 \) часов.
• Общее время в пути (отправление и возврат): \( t_{общ} = 38 \) часов.

Шаг 1: Найдем время в пути по течению

Когда теплоход следует по течению, его скорость будет равна: \[ v_{по течению} = v + V_{теч} = v + 4 \text{ км/ч}. \] Когда теплоход возвращается против течения, его скорость будет: \[ v_{против течения} = v - V_{теч} = v - 4 \text{ км/ч}. \] Теперь нам нужно найти время, затраченное на путь в одну сторону и обратный путь.

Шаг 2: Запишем уравнение для времени в пути

Время, затраченное на путь до пункта назначения: \[ t_{вперед} = \frac{S}{v_{по течению}} = \frac{280}{v + 4} \text{ часов}. \]

Время, затраченное на обратный путь: \[ t_{назад} = \frac{S}{v_{против течения}} = \frac{280}{v - 4} \text{ часов}. \]

Шаг 3: Составим уравнение

Общее время в пути (включая стоянку) равно 38 часам: \[ t_{вперед} + t_{назад} + t_{стоя} = t_{общ}. \]

Подставляем полученные выражения в уравнение: \[ \frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} + 14 = 38. \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Упростим его: \[ \frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} = 38 - 14, \] \[ \frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} = 24. \]

Теперь объединим дроби: \[ 280 \left( \frac{1}{v + 4} + \frac{1}{v - 4} \right) = 24. \]

Объединяем две дроби: \[ 280 \cdot \frac{(v - 4) + (v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 24, \] \[ 280 \cdot \frac{2v}{v^2 - 16} = 24. \]

Шаг 5: Упростим дальнейшие действия

Умножим обе стороны на \( (v^2 - 16) \): \[ 560v = 24(v^2 - 16). \] Раскроем скобки: \[ 560v = 24v^2 - 384. \] Переместим все в одну сторону: \[ 24v^2 - 560v - 384 = 0. \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Чтобы решить квадратное уравнение \( 24v^2 - 560v - 384 = 0 \): Применим формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-560)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-384). \]

Вычислим: \[ D = 313600 + 36864 = 350464. \]

Следовательно, корни можно найти по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{560 \pm \sqrt{350464}}{2 \cdot 24}. \]

Вычисляем \(\sqrt{350464} \approx 592\) (приблизительно): \[ v = \frac{560 \pm 592}{48}. \]

Шаг 7: Найдем два возможных значения для \(v\)

1. \(v = \frac{1152}{48} = 24\) км/ч.
2. \(v = \frac{-32}{48}\) (отрицательный результат отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной).

Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде составляет \( v = 24 \) км/ч.

Ответ:

Скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.