Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Расстояние между пунктами – не указано, обозначим его как ( S ) километров.
- Скорость товарного поезда – на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.
- Пассажирский поезд проходит это расстояние на 1 час быстрее, чем товарный.
Обозначения:
- Обозначим скорость пассажирского поезда как ( V_p ) (км/ч).
- Скорость товарного поезда тогда будет ( V_t = V_p - 20 ) (км/ч).
Формулы:
Время, необходимое для проезда расстояния, определяем по формуле:
[
t = \frac{S}{V}
]
где ( t ) - время, ( S ) - расстояние, ( V ) - скорость.
Времена поездов:
Время, которое тратит пассажирский поезд:
[
t_p = \frac{S}{V_p}
]
Время, которое тратит товарный поезд:
[
t_t = \frac{S}{V_t} = \frac{S}{V_p - 20}
]
Условие задачи:
Пассажирский поезд проходит расстояние на 1 час быстрее:
[
t_t - t_p = 1
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{S}{V_p - 20} - \frac{S}{V_p} = 1
]
Приведем к общему знаменателю:
Общий знаменатель будет ( V_p(V_p - 20) ):
[
\frac{S \cdot V_p - S \cdot (V_p - 20)}{V_p(V_p - 20)} = 1
]
Упростим числитель:
[
\frac{S \cdot V_p - S \cdot V_p + 20S}{V_p(V_p - 20)} = 1
]
[
\frac{20S}{V_p(V_p - 20)} = 1
]
Перепишем уравнение:
Умножим обе стороны на ( V_p(V_p - 20) ):
[
20S = V_p(V_p - 20)
]
Теперь обернем уравнение в другую сторону:
Разделим обе стороны на 20:
[
S = \frac{V_p(V_p - 20)}{20}
]
Теперь подставим ( S ) обратно:
Подставляем ( S ) в одно из уравнений для времени:
[
\frac{V_p(V_p - 20)}{20} = \frac{S}{V_t} + 1
]
Решаем систему уравнений:
- У нас есть:
( S = \frac{V_p(V_p - 20)}{20} )
- Подставим ( S ) в предыдущее уравнение:
Упрощаем:
Теперь мы можем попробовать подставить значения скорости, чтобы найти их. Например, предполагая ( V_p = x ):
[
V_t = x - 20
]
Ставим в уравнение:
[
20 \cdot \frac{x \cdot (x - 20)}{20} = (x - 20)(x) + 20
]
или
[
x^2 - 20x - 20 = 0
]
Находим корни этого уравнения (используя дискриминант):
Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = -16 + 80 = 64 ):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x = 10 \pm 8 \rightarrow x_1 = 18, x_2 = 2.
]
Проверяем реальные значения.
Тогда скорости будут:
- Пассажирский: 40 км/ч
- Товарный: 20 км/ч.
Ответ:
Скорость пассажирского поезда – 40 км/ч, скорость товарного поезда – 20 км/ч.
