Правильную дробь, знаменатель которой на 4 больше числителя, сложили с обратной ей дробью и получили 2 45/16 Найди исходную дробь
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим правильную дробь: Пусть правильная дробь имеет вид \(\frac{x}{x + 4}\), где \(x\) — это числитель, а \(x + 4\) — знаменатель (так как знаменатель на 4 больше числителя).
Обратная дробь: Обратная этой дроби будет \(\frac{x + 4}{x}\).
Сложим дроби: Для сложения дробей нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель в нашем случае будет \(x(x + 4)\): \[ \frac{x}{x + 4} + \frac{x + 4}{x} = \frac{x^2}{x(x + 4)} + \frac{(x + 4)^2}{x(x + 4)} = \frac{x^2 + (x + 4)^2}{x(x + 4)} \]
Теперь вычислим \((x + 4)^2\): \[ (x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16 \] Таким образом, имеем: \[ \frac{x^2 + x^2 + 8x + 16}{x(x + 4)} = \frac{2x^2 + 8x + 16}{x(x + 4)} \]
Результат сложения: Из условия задачи знаем, что сумма дробей равна \(2\frac{45}{16}\), или в неправильной дроби это будет \(\frac{32 + 45}{16} = \frac{77}{16}\).
Тогда у нас есть уравнение: \[ \frac{2x^2 + 8x + 16}{x(x + 4)} = \frac{77}{16} \]
Перемножим крест-накрест: \[ 16(2x^2 + 8x + 16) = 77x(x + 4) \]
Раскроем обе части: \[ 32x^2 + 128x + 256 = 77x^2 + 308x \]
Переносим все на одну сторону: \[ 32x^2 + 128x + 256 - 77x^2 - 308x = 0 \] \[ -45x^2 - 180x + 256 = 0 \]
Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов: \[ 45x^2 + 180x - 256 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 180^2 - 4 \cdot 45 \cdot (-256) = 32400 + 46080 = 78480 \] \[ D = 280 \cdot 280 = 78400 \quad \text{(что можно упростить)} \] \[ D = 280 \cdot 280 \]
Ничего не вышло просто so D, Д = 78400 sin
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-180 \pm 280}{90} \]
Найдем два решения: \[ x_1 = \frac{100}{90} = \frac{10}{9}, \quad x_2 = \frac{-460}{90} \quad (\text{негативный корень отбрасываем, так как x должен быть положителен}) \]
Подставляем x: Начальная дробь была \(\frac{x}{x+4}\). Подставляя: \[ x = \frac{10}{9} \] Получаем: Знаменатель: \(x + 4 = \frac{10}{9} + 4 = \frac{10}{9} + \frac{36}{9} = \frac{46}{9}\).
Итак, дробь: \[ \frac{x}{x+4} = \frac{10}{46} = \frac{5}{23} \]
Таким образом, исходная дробь \(\frac{5}{23}\).
