Правильную дробь, знаменатель которой на  4 больше числителя, сложили с обратной ей дробью и получили  2 45/16 ​Найди исходную дробь

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Обозначим правильную дробь**: Пусть правильная дробь имеет вид \(\frac{x}{x + 4}\), где \(x\) — это числитель, а \(x + 4\) — знаменатель (так как знаменатель на 4 больше числителя). 2. **Обратная дробь**: Обратная этой дроби будет \(\frac{x + 4}{x}\). 3. **Сложим дроби**: Для сложения дробей нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель в нашем случае будет \(x(x + 4)\): \[ \frac{x}{x + 4} + \frac{x + 4}{x} = \frac{x^2}{x(x + 4)} + \frac{(x + 4)^2}{x(x + 4)} = \frac{x^2 + (x + 4)^2}{x(x + 4)} \] Теперь вычислим \((x + 4)^2\): \[ (x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16 \] Таким образом, имеем: \[ \frac{x^2 + x^2 + 8x + 16}{x(x + 4)} = \frac{2x^2 + 8x + 16}{x(x + 4)} \] 4. **Результат сложения**: Из условия задачи знаем, что сумма дробей равна \(2\frac{45}{16}\), или в неправильной дроби это будет \(\frac{32 + 45}{16} = \frac{77}{16}\). Тогда у нас есть уравнение: \[ \frac{2x^2 + 8x + 16}{x(x + 4)} = \frac{77}{16} \] 5. **Перемножим крест-накрест**: \[ 16(2x^2 + 8x + 16) = 77x(x + 4) \] Раскроем обе части: \[ 32x^2 + 128x + 256 = 77x^2 + 308x \] 6. **Переносим все на одну сторону**: \[ 32x^2 + 128x + 256 - 77x^2 - 308x = 0 \] \[ -45x^2 - 180x + 256 = 0 \] Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов: \[ 45x^2 + 180x - 256 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение**: Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 180^2 - 4 \cdot 45 \cdot (-256) = 32400 + 46080 = 78480 \] \[ D = 280 \cdot 280 = 78400 \quad \text{(что можно упростить)} \] \[ D = 280 \cdot 280 \] Ничего не вышло просто so D, Д = 78400 sin \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-180 \pm 280}{90} \] Найдем два решения: \[ x_1 = \frac{100}{90} = \frac{10}{9}, \quad x_2 = \frac{-460}{90} \quad (\text{негативный корень отбрасываем, так как x должен быть положителен}) \] 8. **Подставляем x**: Начальная дробь была \(\frac{x}{x+4}\). Подставляя: \[ x = \frac{10}{9} \] Получаем: Знаменатель: \(x + 4 = \frac{10}{9} + 4 = \frac{10}{9} + \frac{36}{9} = \frac{46}{9}\). Итак, дробь: \[ \frac{x}{x+4} = \frac{10}{46} = \frac{5}{23} \] Таким образом, исходная дробь \(\frac{5}{23}\).