Найди угол между векторами а{4; 7} и b{11; 3}.
Чтобы найти угол между двумя векторами, можно воспользоваться формулой:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где:
- \(\theta\) — угол между векторами,
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов,
- \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — модули векторов.
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов
Векторы: \[ \mathbf{a} = (4, 7), \quad \mathbf{b} = (11, 3) \]
Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]
Подставим значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 11 + 7 \cdot 3 = 44 + 21 = 65 \]
Шаг 2: Найдем модуль каждого вектора
Модуль вектора \(\mathbf{a}\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \]
Модуль вектора \(\mathbf{b}\): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{11^2 + 3^2} = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130} \]
Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса угла
Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для \(\cos(\theta)\): \[ \cos(\theta) = \frac{65}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{130}} \]
Шаг 4: Упростим выражение
Упростим знаменатель: \[ \sqrt{65} \cdot \sqrt{130} = \sqrt{65 \times 130} \] \[ = \sqrt{8450} \]
Следовательно: \[ \cos(\theta) = \frac{65}{\sqrt{8450}} \]
Шаг 5: Найдем угол \(\theta\)
Для того чтобы найти угол \(\theta\), нужно воспользоваться арккосинусом: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{65}{\sqrt{8450}}\right) \]
Шаг 6: Вычислим численно
Проведем вычисления с помощью калькулятора или математического программного обеспечения, чтобы найти угол в радианах или градусах.
Например:
- Рассчитаем \(\sqrt{8450} \approx 91.96\)
- Найдем \( \frac{65}{91.96} \approx 0.707\)
- Используем арккосинус \( \theta \approx \cos^{-1}(0.707)\)
Это даст нам угол в градусах. После вычислений получим: \[ \theta \approx 45^\circ \]
Ответ
Угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) примерно равен \(45^\circ\).
