Реши x • log4 (5 - 3x - x^2) ≥ 0 с помощью рационализации
Чтобы решить неравенство \( x \cdot \log_4(5 - 3x - x^2) \geq 0 \), мы будем рассматривать два множителя: \( x \) и \( \log_4(5 - 3x - x^2) \).
Найдем корни первого множителя: \[ x \geq 0 \]
Теперь рассмотрим второй множитель: \[ \log_4(5 - 3x - x^2) \geq 0 \] Это неравенство верно, если \( 5 - 3x - x^2 > 0 \), потому что логарифм положителен, когда его аргумент больше единицы.
Таким образом, нам нужно решить: \[ 5 - 3x - x^2 > 0 \] Преобразуем: \[ -x^2 - 3x + 5 > 0 \] Умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства): \[ x^2 + 3x - 5 < 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 5 = 0 \) с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} \] Корни: \[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \]
Определим интервалы для неравенства \( x^2 + 3x - 5 < 0 \): Найдем знаки на интервалах, определенных корнями:
- \( (-\infty, x_1) \)
- \( (x_1, x_2) \)
- \( (x_2, +\infty) \)
Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), функция будет отрицательной между корнями: \[ x_1 < x < x_2 \]
Объединяем условия: Теперь проверяем, где выполняются оба условия: \( x \geq 0 \) и \( x_1 < x < x_2 \). Сначала найдем \( x_1 \) и \( x_2 \): \[ x_1 \approx -3.19 \quad (не нужно) \] \[ x_2 \approx 1.19 \]
Следовательно, наше решение будет в интервале: \[ 0 \leq x < x_2 \Rightarrow 0 \leq x < \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \]
Таким образом, ответ будет: \[ \boxed{[0, \frac{-3 + \sqrt{29}}{2})} \]
