Чтобы найти предложение с обособленным распространенным приложением, давайте сначала разберемся, что такое обособленное приложение и как его распознать.
Обособленное приложение — это уточняющее или поясняющее слово или группа слов, которые относятся к какому-либо слову в предложении и обособляются запятыми или другими знаками препинания. Распространенное приложение — это приложение, состоящее из нескольких слов.
Теперь разберем предложенные вами предложения:
(1) И вот настал день, когда к нему, к «царскому лиственю», подступили чужие люди.
- Здесь есть обособленное приложение: "к «царскому лиственю»". Оно уточняет, к какому именно "ему" подступили чужие люди. Это приложение обособлено запятой.
(2) Тот, кто шёл первым, с маху, пробуя листвень, стукнул обухом топора о ствол и едва удержал топор, с испугом отдёрнул голову, - с такой силой он спружинил обратно.
- В данном предложении есть вводные конструкции, но обособленные приложения отсутствуют.
(3) – Ого! - изумился мужик.
- Это предложение не содержит никаких приложений.
(4) – Зверь какой!
- Также не содержит приложений.
(5) Мы тебе, зверю…
- Здесь "зверю" является обращением и не относится к обособленному приложению.
(6) У нас дважды два – четыре.
- Данное предложение вообще не содержит ни приложений, ни обособленных конструкций.
(7) Не таких видывали.
- В этом предложении также нет приложений.
Таким образом, единственным предложением с обособленным распространенным приложением является предложениe (1).
Ответ: 1.