Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р = 0 , 5 р=0,5 . Сколько патронов должен иметь стрелок…

Для решения задачи начнем с того, что вероятность попадания при каждом выстреле составляет \( p = 0,5 \). Нам нужно определить количество патронов \( n \), которое нужно иметь у стрелка, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее \( 0,8 \).

Шаг 1: Определение вероятность промаха

Если вероятность попадания составляет \( p \), то вероятность промаха составляет \( 1 - p \): \[ q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5 \]

Шаг 2: Вероятность промаха за \( n \) выстрелов

Если стрелок делает \( n \) выстрелов, то вероятность промаха во всех \( n \) выстрелах (то есть не попасть ни разу) будет равна \( q^n \): \[ P(\text{промахи за } n \text{ выстрелов}) = q^n = (0,5)^n \]

Шаг 3: Вычисление вероятности хотя бы одного попадания

Вероятность того, что стрелок хотя бы раз попадет в мишень, равна \( 1 \) минус вероятность промаха во всех выстрелах: \[ P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - (0,5)^n \]

Шаг 4: Нахождение необходимого условия

Мы хотим, чтобы это значение было не менее \( 0,8 \): \[ 1 - (0,5)^n \geq 0,8 \]

Шаг 5: Упрощение задачи

Перепишем неравенство: \[ (0,5)^n \leq 0,2 \]

Шаг 6: Логарифмирование

Применим логарифм к обеим сторонам неравенства: \[ \log((0,5)^n) \leq \log(0,2) \] \[ n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2) \]

Логарифм \( \log(0,5) \) будет отрицательным числом, поэтому мы поменяем знак неравенства: \[ n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)} \]

Шаг 7: Вычисление значений

Теперь вычислим логарифмы: \[ \log(0,2) \approx -0,6990 \quad \text{и} \quad \log(0,5) \approx -0,3010 \]

Теперь подставляем значения: \[ n \geq \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32 \]

Это означает, что стрелок должен иметь не менее \( 2,32 \) патрона, что округляется вверх до \( 3 \) патронов.

Вывод

Таким образом, чтобы иметь вероятность попадания не менее \( 0,8 \), стрелку нужно минимум три патрона. Правильный ответ: Минимум три патрона.