Для решения задачи начнем с того, что вероятность попадания при каждом выстреле составляет ( p = 0,5 ). Нам нужно определить количество патронов ( n ), которое нужно иметь у стрелка, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее ( 0,8 ).
Шаг 1: Определение вероятность промаха
Если вероятность попадания составляет ( p ), то вероятность промаха составляет ( 1 - p ):
[
q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5
]
Шаг 2: Вероятность промаха за ( n ) выстрелов
Если стрелок делает ( n ) выстрелов, то вероятность промаха во всех ( n ) выстрелах (то есть не попасть ни разу) будет равна ( q^n ):
[
P(\text{промахи за } n \text{ выстрелов}) = q^n = (0,5)^n
]
Шаг 3: Вычисление вероятности хотя бы одного попадания
Вероятность того, что стрелок хотя бы раз попадет в мишень, равна ( 1 ) минус вероятность промаха во всех выстрелах:
[
P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - (0,5)^n
]
Шаг 4: Нахождение необходимого условия
Мы хотим, чтобы это значение было не менее ( 0,8 ):
[
1 - (0,5)^n \geq 0,8
]
Шаг 5: Упрощение задачи
Перепишем неравенство:
[
(0,5)^n \leq 0,2
]
Шаг 6: Логарифмирование
Применим логарифм к обеим сторонам неравенства:
[
\log((0,5)^n) \leq \log(0,2)
]
[
n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2)
]
Логарифм ( \log(0,5) ) будет отрицательным числом, поэтому мы поменяем знак неравенства:
[
n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)}
]
Шаг 7: Вычисление значений
Теперь вычислим логарифмы:
[
\log(0,2) \approx -0,6990 \quad \text{и} \quad \log(0,5) \approx -0,3010
]
Теперь подставляем значения:
[
n \geq \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32
]
Это означает, что стрелок должен иметь не менее ( 2,32 ) патрона, что округляется вверх до ( 3 ) патронов.
Вывод
Таким образом, чтобы иметь вероятность попадания не менее ( 0,8 ), стрелку нужно минимум три патрона. Правильный ответ: Минимум три патрона.
