3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 10. 4. Найдите площадь параллелограмма, если его две стороны равны 3 и 7, а угол между ними равен 150°. 5. Найдите площадь…

Давайте последовательно разберём каждую из задач, предоставляя пошаговые объяснения.

Задача 1: Площадь квадрата с диагональю 10

Шаги решения:

1. Формула диагонали квадрата:
   Диагональ квадрата \(d\) связана с его стороной \(a\) формулой: \[ d = a \sqrt{2} \] Мы знаем, что диагональ равна 10.

2. Найдём сторону квадрата:
   Подставляем значение диагонали в формулу: \[ 10 = a \sqrt{2} \] Решим это уравнение для \(a\): \[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \]

3. Площадь квадрата:
   Площадь квадрата \(S\) рассчитывается по формуле: \[ S = a^2 \] Подставляем найденное значение стороны: \[ S = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \]

Таким образом, площадь квадрата равна 50.

Задача 2: Площадь параллелограмма

Шаги решения:

1. Формула площади параллелограмма:
   Площадь \(S\) параллелограмма можно вычислить по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \] где \(a\) и \(b\) — стороны, а \(\theta\) — угол между ними.

2. Данные по задаче:
   Здесь \(a = 3\), \(b = 7\) и угловой \(\theta = 150°\). Найдём \(\sin(150°)\): \[ \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \]

3. Подставляем в формулу площадью:
   \[ S = 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 10.5 \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна 10.5.

Задача 3: Площадь ромба

Шаги решения:

1. Формула периметра ромба:
   Периметр ромба \(P\) равен \(4a\), где \(a\) — длина стороны: \[ 20 = 4a \implies a = 5 \]

2. Формула площади ромба:
   Площадь \(S\) ромба можно найти по формуле: \[ S = a \cdot h \] где \(h\) — высота, в данном случае \(h = 2\).

3. Подставляем известные значения: \[ S = 5 \cdot 2 = 10 \]

Таким образом, площадь ромба равна 10.

Задача 4: Площадь равнобедренной трапеции

Шаги решения:

1. Формула площади трапеции:
   Площадь \(S\) равнобедренной трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \] где \(a\) и \(b\) — основания, а \(h\) — высота.

2. Найдём высоту через боковую сторону:
   В равнобедренной трапеции можно представить боковые стороны как два равных прямоугольных треугольника. Найдём высоту, используя теорему Пифагора. Сначала нужно найти длину основания, на которое опирается высота. Разделим разницу оснований напополам: \[ \text{Базовая разница} = 32 - 14 = 18 \implies 9 (по каждой стороне) \] Используем теорему Пифагора: \[ h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \]

3. Теперь подставим все значения в формулу площади: \[ S = \frac{(14 + 32)}{2} \cdot 12 = 23 \cdot 12 = 276 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 276.

Задача 5: Площадь кругового сектора

Шаги решения:

1. Формула площади сектора:
   Площадь \(S\) сектора рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 \] где \(\alpha\) — центральный угол, а \(r\) — радиус.

2. Сначала найдём радиус через известную площадь сектора:
   Через известную площадь сектора: \[ 12 = \frac{60°}{360°} \cdot \pi r^2 \implies 12 = \frac{1}{6} \cdot \pi r^2 \implies r^2 = \frac{12 \cdot 6}{\pi} = \frac{72}{\pi} \]

3. Теперь найдём площадь всего круга:
   Площадь круга \(S\) вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] Подставляем найденное ранее \(r^2\): \[ S = \pi \cdot \frac{72}{\pi} = 72 \]

Таким образом, площадь всего круга равна 72.