3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 10. 4. Найдите площадь параллелограмма, если его две стороны равны 3 и 7, а угол между ними равен 150°. 5. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 20, а высота равна 2. 6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 и 32, а боковая сторона равна 15. 7. Площадь кругового сектора, центральный угол которого равен 60°, равна 12. Найдите пло- щадь всего круга.

Давайте последовательно разберём каждую из задач, предоставляя пошаговые объяснения. ### Задача 1: Площадь квадрата с диагональю 10 **Шаги решения:** 1. **Формула диагонали квадрата:** Диагональ квадрата \(d\) связана с его стороной \(a\) формулой: \[ d = a \sqrt{2} \] Мы знаем, что диагональ равна 10. 2. **Найдём сторону квадрата:** Подставляем значение диагонали в формулу: \[ 10 = a \sqrt{2} \] Решим это уравнение для \(a\): \[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \] 3. **Площадь квадрата:** Площадь квадрата \(S\) рассчитывается по формуле: \[ S = a^2 \] Подставляем найденное значение стороны: \[ S = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \] Таким образом, **площадь квадрата равна 50**. --- ### Задача 2: Площадь параллелограмма **Шаги решения:** 1. **Формула площади параллелограмма:** Площадь \(S\) параллелограмма можно вычислить по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \] где \(a\) и \(b\) — стороны, а \(\theta\) — угол между ними. 2. **Данные по задаче:** Здесь \(a = 3\), \(b = 7\) и угловой \(\theta = 150°\). Найдём \(\sin(150°)\): \[ \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \] 3. **Подставляем в формулу площадью:** \[ S = 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 10.5 \] Таким образом, **площадь параллелограмма равна 10.5**. --- ### Задача 3: Площадь ромба **Шаги решения:** 1. **Формула периметра ромба:** Периметр ромба \(P\) равен \(4a\), где \(a\) — длина стороны: \[ 20 = 4a \implies a = 5 \] 2. **Формула площади ромба:** Площадь \(S\) ромба можно найти по формуле: \[ S = a \cdot h \] где \(h\) — высота, в данном случае \(h = 2\). 3. **Подставляем известные значения:** \[ S = 5 \cdot 2 = 10 \] Таким образом, **площадь ромба равна 10**. --- ### Задача 4: Площадь равнобедренной трапеции **Шаги решения:** 1. **Формула площади трапеции:** Площадь \(S\) равнобедренной трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \] где \(a\) и \(b\) — основания, а \(h\) — высота. 2. **Найдём высоту через боковую сторону:** В равнобедренной трапеции можно представить боковые стороны как два равных прямоугольных треугольника. Найдём высоту, используя теорему Пифагора. Сначала нужно найти длину основания, на которое опирается высота. Разделим разницу оснований напополам: \[ \text{Базовая разница} = 32 - 14 = 18 \implies 9 (по каждой стороне) \] Используем теорему Пифагора: \[ h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \] 3. **Теперь подставим все значения в формулу площади:** \[ S = \frac{(14 + 32)}{2} \cdot 12 = 23 \cdot 12 = 276 \] Таким образом, **площадь равнобедренной трапеции равна 276**. --- ### Задача 5: Площадь кругового сектора **Шаги решения:** 1. **Формула площади сектора:** Площадь \(S\) сектора рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 \] где \(\alpha\) — центральный угол, а \(r\) — радиус. 2. **Сначала найдём радиус через известную площадь сектора:** Через известную площадь сектора: \[ 12 = \frac{60°}{360°} \cdot \pi r^2 \implies 12 = \frac{1}{6} \cdot \pi r^2 \implies r^2 = \frac{12 \cdot 6}{\pi} = \frac{72}{\pi} \] 3. **Теперь найдём площадь всего круга:** Площадь круга \(S\) вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] Подставляем найденное ранее \(r^2\): \[ S = \pi \cdot \frac{72}{\pi} = 72 \] Таким образом, **площадь всего круга равна 72**.