y1=2x2−10x+12 и y2=x2−4x+4. По формуле ньютона Лейбница
Для начала разберем функцию и поймем, что нам необходимо сделать. У нас есть две функции:
- \( y_1 = 2x^2 - 10x + 12 \)
- \( y_2 = x^2 - 4x + 4 \)
Поскольку в задаче упоминается "формула Ньютона-Лейбница", вероятно, мы должны найти интеграл разности этих двух функций на каком-то интервале. Формула Ньютона-Лейбница связывает интегралы и производные и выглядит следующим образом:
\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
где \( F(x) \) — первообразная функции \( f(x) \).
Шаг 1: Нахождение разности функций
Начнем с нахождения разности функций \( y_1 \) и \( y_2 \):
\[ y = y_1 - y_2 = (2x^2 - 10x + 12) - (x^2 - 4x + 4) \]
Упрощаем выражение:
\[ y = (2x^2 - x^2) + (-10x + 4x) + (12 - 4) \] \[ y = x^2 - 6x + 8 \]
Шаг 2: Нахождение первообразной
Теперь найдем первообразную функции \( y = x^2 - 6x + 8 \):
\[ F(x) = \int (x^2 - 6x + 8) \, dx \]
Выделяем интегралы для каждого члена:
\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x + C \]
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница
Теперь, если нам известен интервал \([a, b]\), мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Подставляем найденную первообразную:
\[ \int_a^b (x^2 - 6x + 8) \, dx = F(b) - F(a) \]
Шаг 4: Пример вычисления на конкретном интервале
Допустим, мы выбрали \( a = 0 \) и \( b = 2 \). Тогда:
\[ F(2) = \frac{2^3}{3} - 3(2^2) + 8(2) = \frac{8}{3} - 12 + 16 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \]
\[ F(0) = \frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 8(0) = 0 \]
Теперь подставим значения в формулу Ньютона-Лейбница:
\[ \int_0^2 (x^2 - 6x + 8) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{20}{3} - 0 = \frac{20}{3} \]
Заключение
Таким образом, мы нашли разность функций, определили их первообразную и применили формулу Ньютона-Лейбница, чтобы вычислить интеграл. Если у вас есть конкретный интервал или другие условия, укажите, пожалуйста, чтобы я мог помочь дальше!
