В треугольнике АВС угол А равен 45", угол В равен 30", ВС = 3v2. Найдите АС3

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами треугольников и теорией синусов. Давайте шаг за шагом разберёмся с данной задачей.

Дано:

• Угол \( A = 45^\circ \)
• Угол \( B = 30^\circ \)
• Сторона \( BC = 3\sqrt{2} \)

Найти:

• Сторону \( AC \)

Решение:

1. Найдём угол C: Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Поэтому: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

2. Запишем теорему синусов: Согласно теореме синусов, в любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \( a, b, c \) — стороны соответственно напротив углов \( A, B, C \).

   В нашем случае:

   • \( a = BC = 3\sqrt{2} \)
   • \( b = AC \)
   • \( c = AB \)

3. Записать соотношения по теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Подставим известные значения: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} \]

   Знаем, что:

   • \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

   Подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} \] Упрощаем: \[ \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = AC \cdot 2 \] Это приводит к: \[ 6 = AC \cdot 2 \]

4. Решим уравнение для \( AC \): \[ AC = \frac{6}{2} = 3 \]

Ответ:

Таким образом, сторона \( AC = 3 \).